定义
模算术
这是一个钟。
它有什么特点呢？
- 只能从 集合 \(S=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}\) 中取值。
- 二元操作：可对其进行 \(+\) 操作。
- 封闭性：可对其进行任何 二元操作，得到的结果仍在集合 \(S\) 内。
- 单位元：\(x+0=0+x=x\) 状态不变。
- 逆元：任一操作都存在与之对应的逆操作，\(x\) 的逆是 \(-x\)，\(x+(-x)=0\)。
- 结合律：\(\left(x+y\right)+z=x+\left(y+z\right)\)。
三角形
这是一个等边三角形，允许对其进行两种操作：
- 顺时针旋转 \(120^\circ\)，不妨称其为 \(r\)；
- 沿垂直对称轴水平翻转，不妨称其为 \(f\)。
它有什么特点呢？
- 集合：\(S=\left\{1,r,r^2,f,fr,fr^2\right\}\)。
- 二元操作：用 \(\times\) 表示。
- 封闭性：对三角形进行任何操作，其结果仍在集合 \(S\) 里。
- 单位元：不动，用 \(1\) 表示，\(a\times1=1\times a=a\)。
- 逆元：任一操作存在与之对应的逆操作。比如 \(r^2\) 也就是旋转 \(240^\circ\) 的逆操作是 \(r\) 即再旋转 \(120^\circ\)。在 \(\times\) 下，\(a\) 的逆为 \(a^{-1}\)，\(a\times a^{-1}=1\)。
- 组合律：\((x\times y)\times z=x\times(y\times z)\)。
定义
- 群 \(G\) 的元素属于 一个集合。
- \(G\) 对用的二元操作：用 \(\circ\) 表示，显得更为抽象和高级。
- 封闭性：\(\forall{x,y\in G}:x\circ y\in G\)。
- 单位元：\(\exists e\in{G}\text{ s.t. } \forall x\in{G}:e\circ x=x\circ e=x\)。
- 逆元：对于 \(G\) 的每一个元素 \(x\)，都存在一个元素 \(x^{-1}\) 属于 \(G\)，使得 \(x\circ x^{-1}=x^{-1}\circ x=e\)。
- 结合律：\((x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z)\)。
将群 \(G\) 和操作 \(\circ\) 写作 \(\left(G,\circ\right)\)。
另一个角度
半群
半群：非空集合 \(G\) 上有二元操作 \(\circ\)，满足结合律，则称 \(\left\langle G,\circ\right\rangle\) 为一个半群。
例子：\(\left\langle\mathbb{Z}_{\ge0},+\right\rangle,\left\langle\mathbb Z_+,\times\right\rangle\)。
幺元（也就是单位元）：对于半群 \(\left\langle G,\circ\right\rangle\)，若 \(\exists{e_1\in G}\text{ s.t. }\forall a{\in G}:e_1\circ{a}=a\) 则 \(e_1\) 为左幺元，右幺元 \(e_2\) 同理。若 \(e_1=e_2=e\) 则称 \(e\) 为幺元。
幺半群：存在幺元的半群，可以记为 \(\left\langle G,\circ,e\right\rangle\)。
幺半群中的幺元唯一。
逆元：对于幺半群 \(\left\langle G,\circ,e\right\rangle\)，\(a\in{G}\) 若 \(\exists a'\text{ s.t. } a'\circ a=e\)，则称 \(a'\) 为 \(a\) 的左逆元。同理，有右逆元。左右逆元相等，则记作 \(a^{-1}\) 称为 \(a\) 的逆元。
群：每个元素都可逆的幺半群 \(G\)。
杂
元素的阶
对于群 \(G\) 的一个元 \(a\)，满足 \(a^m=e\) 的最小正整数 \(m\) 称之为 \(a\) 的阶，若无则称 \(a\) 是无限阶的。
这个阶就很容易令人想起原根。就是这个含义。
群的阶
元素个数。
两个记号
\(aA=\left\{ax|{x\in A}\right\},AB=\left\{xy|{x\in A,y\in B}\right\}\)。
阿贝尔群
二元操作满足交换律的群。
数域 \(\mathbb P\) 对数的加法为阿贝尔群。
\(\mathbb{P}^*\) 对乘法为阿贝尔群。
\(\{-1,1\}\) 对乘法为阿贝尔群。
\(A\) 非空，\(P(A)\) 为 \(A\) 的幂集，则 \(P(A)\) 对运算 \(\cup\) 成幺半群，单位元为 \(\varnothing\)。
\(A\) 非空，\(P(A)\) 为 \(A\) 的幂集，则 \(P(A)\) 对运算 \(\cap\) 成幺半群，单位元为 \(A\)。
剩余类加法群
例子：\(\mathbb{Z}_6=\left\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4},\bar{5}\right\}\)
这里 \(\bar0\) 不是一个数而是一个集合，表示所有 \(\bmod6\) 为 \(0\) 的整数。
单位元是 \(\bar0\)，逆元也没问题，\(\bar1\) 的逆元是 \(\bar5\)。封闭性和结合律也没有问题。
剩余类乘法群
若剩余类集合元素与模数互素，则集合可以构成乘法群。
例子：\(\mathbb Z_5^*=\left\{\bar1,\bar2,\bar3,\bar4\right\}\)。
对于剩余类中一个元素 \(\bar{a}\) 拥有逆元的充要条件是 \(\gcd(a,p)=1\)。
证明：
\(\Longrightarrow\)：设 \(\bar b\) 为 \(\bar a\) 的逆元，\(\exists t\in\mathbb Z\text{ s.t. } ab+tp=1\)，而 \(\gcd(a,p)\mid{a,p}\Longrightarrow\gcd(a,p)\mid\left(ab+tp\right)=1\Longrightarrow \gcd(a,p)=1\)。
\(\Longleftarrow\)：\(\gcd(a,p)=1\)，由 Bezout Th. \(\exists b,t\in\mathbb{Z}\text{ s.t. }ab+tp=1\)，\(\bmod p\) 即得 \(ab\equiv1\pmod{p}\)。
子群
定义
设 \(G\) 为群，\(H\subseteq G\)，\(H\neq\varnothing\)，若 \(H\) 在 \(G\) 的二元操作下成群，则称 \(H\) 为 \(G\) 的子群，记作 \(H<G\)。
例如：\(m\mathbb Z=\{mn|n\in\mathbb Z\}<\mathbb Z\)。
显然，\(G\) 中的单位元 \(e\) 也在子群里。
定理
设 \(G\) 为群，\(H\) 为 \(G\) 的非空子集。下列条件等级：
- \(H<G\)
- \(\forall a,b\in{H},a\circ b\in H,a^{-1}\in H\)
- \(\forall a,b\in{H}.a\circ b^{-1}\in H\)
证明：
\(1.\Rightarrow2.\) 显。
\(2.\Rightarrow3.\)：\(a,b\in{H}\Rightarrow a,b^{-1}\in{H}\Rightarrow a\circ b^{-1}\in H\)。
\(3.\Rightarrow1.\)：取 \(a=b\Rightarrow e\in H\)，\(a=e\Rightarrow b^{-1}\in H\)，\(a,b^{-1}\Rightarrow a\circ\left(b^{-1}\right)^{-1}=a\circ b\in H\)。
陪集
\(H<G\)，\(a\in G\)，\(aH\) 称作 \(a\) 为代表元的左陪集。同理有右陪集。
性质 1
\(a\in aH\)。
证明：\(e\in{H}\)，\(a\circ e=a\in{H}\)。
性质 2
\(aH=H\Longleftrightarrow a\in{H}\)。
证明：
\(\Longleftarrow\)：根据群的封闭性显然。
\(\Longrightarrow\)：性质 1 \(a\in{aH}\) 显然。
性质 3
若 \(aH\) 是子群，则 \(aH=H\)。
证明：
\(aH\) 是子群就必须有单位元 \(e\)，而 \(e\in{H}\)，由性质二知 \(aH=H\)。
性质 4
\(aH=bH\Longleftrightarrow a^{-1}\circ b\in H\)。
证明：
假设 \(a\circ e=b\circ x\)，则 \(a\circ b^{-1}=x\in{H}\)。
若 \(a^{-1}\circ b\in{H}\)，则 \(\forall b\circ x:x\in{H},\left(a^{-1}\circ b\right)\circ x=a^{-1}\circ\left(b\circ x\right) =t\in {H}\)，而 \(a\circ t=b\circ x\)。
性质 5
\(aH,bH\) 要么完全相同，要么没有交集。
证明：
分类讨论。
5.1 \(a=b\)
显然 \(aH=bH\)。
5.2 \(a,b\in{H}\)
由性质 2，\(aH=H=bH\)。
5.3 \(a\in H,b\notin H\)
由性质 2，\(aH=H\)。
下证：对于子群 \(G_1<G\)，如果 \(g\in G_1,b\notin G_1\)，则 \(b\circ g\notin G_1\)。
若 \(b\circ g\in G_1\)，因为 \(g\in G_1\)，则 \(g^{-1}\in G_1\)，则 \(\left(b\circ g\right)\circ g^{-1}=b\circ\left(g\circ g^{-1}\right)=b\in G_1\)。矛盾。所以 \(b\circ g\notin G_1\)。
所以 \(b\circ h(h\in H)\notin H\)。与 \(aH\) 没有交集。
5.4 \(a,b\notin H\)
若 \(\exists x_1,x_2\in H\text{ s.t. }a\circ x_1=b\circ x_2\)，则有 \(a^{-1}\circ b=x_1\circ x_2^{-1}\in{H}\)，从而 \(a^{-1},b\in{H}\)。矛盾。所以无交集。
性质 6
\(\left|aH\right|=\left|bH\right|\)。
证明：显然。
拉格朗日定理
群 \(G\) 可以表示为子群 \(H\) 的一些互不相交的左陪集的并。而陪集大小又都一样，所以 \(\left|H\right| \mid \left|G\right|\)。
是不是和数论里的因数什么的很像？我感觉好像有点内在联系。
推论 1
有限群 \(G\) 中的每一个元素的阶都是 \(G\) 的因子。
这就要扯到一个东西叫 循环群。
循环群
先浅接触一下。以后会讲更多。
若群 \(G\) 中的一个元素 \(g\)，可以通过 \(g^n,n\in\mathbb Z\) 生成 \(G\) 中所有元素，则称 \(G\) 是一个循环群，记 \(G=\left\langle g\right\rangle\)。
例子：\(\left\langle \mathbb Z,+\right\rangle=\left\langle\left\langle1\right\rangle,+\right\rangle\)，\(e=0\)。
每个循环群都是阿贝尔群。
证明：对于 \(G=\langle g\rangle\)，假设 \(x,y\in G\)，则 \(\exists m,n\text{ s.t. }x=g^m,y=g^n\)。那么 \(x\circ y=g^m\circ g^n=g^{m+n}=y\circ x\)。
每个循环群的子群也是循环的。
证明：应该挺好证的。有点懒，就略了。（）
回到推论。因为 \(G\) 是有限的，所以对于每一个元素 \(a\)，显然存在一个子群 \(\langle a\rangle=\left\{e,e\circ a,e\circ a\circ a,\ldots,e\circ a\cdots \circ a\right\}=\left\{e,a,a^2,\ldots,a^{r-1}\right\}\)，其中 \(r\) 是有限值，这些元素各不相同。为什么群和元素都有一个阶呢？这里就可以理解，因为 \(\langle a\rangle\) 的阶就是 \(a\) 的阶。\(a^r=e\)，反证可得。所以 \(r\mid\left|G\right|\)。
推论 2
对于有限群 \(G\)，\(\forall a\in G,a^{\left|G\right|}=e\)。
推论 3
素数阶群都是循环群。
商群
正规子群
对于 \(H<G\)，若 \(\forall a\in{G}\) 都有 \(aH=Ha\)，即任意左右陪集相等，则称 \(H\) 为 \(G\) 的 正规子群，记作 \(H\lhd G\)。
商群
利用正规子群左右陪集相同的特点，可以用它将 \(G\) 进行分割，分割后，所有陪集形成的集合，能够形成一个新的群，即 商群，记作 \(G/H=\left\{aH\mid a\in G\right\}\)。
商群的阶，显然就是 \(\dfrac{\left|G\right|}{\left|H\right|}\)。
商群其实就是所有陪集的一个集合。但为什么要再抽象出这样一个更高阶的集合的集合的商群呢？待会解答。
证明 \(G/H\) 构成商群
二元操作：\(\left(aH\right)\circ\left(bH\right)=\left(a b\right)H\)。
这其实与之前陪集的运算一致，叫做 直积/笛卡尔积。\(AB=\left\{xy\mid{x\in A,y\in B}\right\}\)。
在陪集里，\(aH=\left\{a\right\}H\)，商群这里 \(\left(aH\right)\left(bH\right)=a\left(Hb\right)H=abHH=\left(ab\right)\left(HH\right)\xlongequal[]{H\text{ 是群}}\left(ab\right)H\)。
单位元：\(H\)，\(aH{H}=a{H}\)。
逆元：\(aHa^{-1}H=aa^{-1}HH=H\)。
封闭性：\(\left(aH\right)\left(bH\right)=\left(ab\right)H\)。
结合律：\(\left(\left(aH\right)\left(bH\right)\right)\left(cH\right)=\left(ab\right)H\left(cH\right)=\left(\left(ab\right)c\right)H=\left(a\left(bc\right)\right)H=\left(aH\right)\left(\left(bH\right)\left(cH\right)\right)\)。
正规化子
对于 \(H<G\)，定义 \(H\) 的正规化子为
\[N(H)=\left\{g\mid{g\in{G}},gHg^{-1}=H\right\} \]其实就是让 \(N(H)\) 是 \(G\) 的子群，而 \(H\) 是 \(N(H)\) 的正规子群。
为什么叫商群
有限交换群素因子定理
对于一个有限交换群 \(G\)，设 \(\left|G\right|=n\)。如果 \(p\mid{n},p\text{ is prime}\)，则必存在 \(a\in{G},\operatorname{ord}(a)=p\)。
证明：
考虑数学归纳。
当 \(n=1\) 时，\(G=\{e\}\)，\(e=e\)。满足。
当 \(n=2\) 时，\(G=\{e,a\}\)，\(a^2=e\)。满足。
假设命题对 \(n\in\left[1,k-1\right]\) 都成立，下证对 \(n=k\) 成立：
任取 \(a\in{G},a\neq e\)，设 \(\operatorname{ord}(a)=r\)。
\(p\mid{r}\)
设 \(r=tp\)，则 \(a^r={a^{tp}}=\left(a^t\right)^p=e\Longrightarrow\operatorname{ord}\left(a^t\right)=p\)。这是因为 \(t<r,p \text{ is prime}\)。
\(\gcd(p,r)=1\)
设 \(H=\langle a\rangle\)，因为 \(G\) 是交换群，显然 \(H\) 是正规子群。所以商群 \(\left|G/H\right|=\dfrac{\left|G\right|}{\left|H\right|}=\dfrac{k}r\)。因为 \(p\mid{k},p\nmid r\)，所以 \(p\mid\dfrac{k}r=\left|G/H\right|\)。所以由归纳假设 \(|G/H|=\dfrac{k}r<k\)，商群中有 \(\left(bH\right)^p=H\)，也就是 \(b^pH^p=b^pH=H\)，所以 \(b^p\in{H}\)。
由 拉格朗日定理，或者（设 \(b^p=a^s\)，因为 \(a^r=e\)，所以 \(\left(a^r\right)^s=a^{rs}=\left(a^s\right)^r=\left(b^p\right)^r=e\)）
总而言之得到，\(\left(b^p\right)^r=e\)。从而有 \(\left(b^r\right)^p=e\)。
再回到商群 \(G/H\)，因为 \(p\nmid{r}\)，也就是 \(\operatorname{ord}\left(bH\right)\nmid{r}\)，所以 \(\left(bH\right)^r\neq H\)，所以 \(b^r\notin{H}\)，而 \(e\in H\)，所以 \(b^r\neq e\)，所以 \(\operatorname{ord}\left(b^r\right)=p\)。
变换群
群的元素除了数，也可以是集合、数对、变换等。
当群的元素是变换时，称作变换群。
变换其实是一个函数，运算符号是函数复合 \(\circ\)。
变换
对于非空集合 \(X\)，\(X\) 到 \(X\) 的所有双射形成的集合记为 \(S(X)\)。这些双射就称为 \(X\) 上的变换。
变换群
\(S(X)\) 在映射合成的意义下构成群，单位元为恒等映射 \(I_X\)，逆元为相应的逆映射，称为全变换群。\(S(X)\) 的子群称为变换群。若 \(|X|=n\)，则记 \(S(X)=S_n\)，称为 \(n\) 阶对称群。
下面是一个例子
复数旋转变换
复数旋转变换是这样一个东西 \(T(a)x=e^{\frac{\pi i}2a}x,x\in\mathbb C\)，且有 \(a\in A=\{0,1,2,3\}\)。将 \(a\) 的所有取值构成的变换称作 \(T_A=\left\{T(0),T(1),T(2),T(3)\right\}\)。现证 \(T_A\) 是一个群。
二元操作：\(T(a_2)T(a_1)x=e^{\frac{\pi i}2\left(a_1+a_2\right)}x\)。
封闭性：由于 \((a_1+a_2\bmod4)\in A\)，所以 \(T(a_2)T(a_1)x=T\left(a_1+a_2\right)x,T\left(a_1+a_2\right)\in T_A\)。
结合律：考虑它的本质是函数复合，所以是满足结合律的。
单位元：\(T(a_0)T(a)x=T(a+a_0)x=T(a)x\)，所以 \(a_0=0\)，单位元为 \(T(0)\)。
逆元：\(T\left(a^{-1}\right)T(a)x=T\left(a+a^{-1}\right)=T(0)x\)，所以 \(a^{-1}=-a\)，\(T(a)\) 的逆元为 \(T(-a)\)。
所以这是一个有限变换群。
咕咕咕
置换群
置换
若变换中的 \(X\) 是有限集合，就是置换。若 \(|X|=n\) 则称为 \(n\) 次置换。根据乘法原理，在 \(n\) 元集合 \(X\) 中，一共有 \(n!\) 个置换。
对于 \(n\) 元集合 \(X=\{1,2,3\ldots,n\}\)，其置换\(\sigma\in S_n \text{ s.t. }\sigma(1)=i_1,\sigma(2)=i_2,\cdots,\sigma(n)=i_n\)，其中 \(i_1,i_2,\ldots,i_n\) 为 \(1\) 到 \(n\) 的一个排列。可以表示为
\[\begin{aligned}\sigma&=\left(\begin{matrix}1&2&\cdots&n\\\sigma\left(1\right)&\sigma\left(2\right)&\cdots&\sigma\left(n\right)\end{matrix}\right)\\&=\left(\begin{matrix}1&2&\cdots&n\\i_1&i_2&\cdots&i_n\end{matrix}\right)\end{aligned} \]\(\sigma\) 的本质是一个函数，可以复合，表示成 \(\sigma\circ\pi\) 或 \(\sigma\pi\)。
循环置换
把满足 \(\sigma\left(i_1\right)=i_2,\sigma\left(i_2\right)=i_3,\cdots,\sigma\left(i_{r-1}\right)=i_r,\sigma\left(i_r\right)=i_1,\sigma(i_{r+1})=i_{r+1},\cdots,\sigma\left(i_n\right)=i_n\) 的置换 \(\sigma\) 称为循环置换，记作 \(\left(i_1i_2\cdots i_r\right)\)，\(r\) 为循环的长度。循环置换的表示显然不唯一 \(\left(i_1i_2\cdots i_r\right)=\left(i_2i_3\cdots i_ri_1\right)=\cdots=\left(i_ri_1\cdots i_{r-1}\right)\)。
恒等置换
在 \(S_n\) 中，\((1)=(2)=\cdots=(n)\) 是恒等置换，也就是群的单位元。
循环置换的关系
\(\sigma=\left(i_1i_2\cdots i_r\right),\pi=\left(j_1j_2\cdots j_s\right)\) 是两个循环置换。若 \(\{i_p\}_{p=1}^r,\{j_q\}_{q=1}^s\) 的交集为空集，则称置换 \(\sigma\) 和 \(\pi\) 相互独立或不相交。
相互独立的循环置换满足交换律。
显然。
任意置换 \(\sigma\in{S_n}\) 可以唯一地表示成相互独立的循环置换的乘积。
证明：
考虑对置换中改变的元素数 \(k\) 进行归纳。
若 \(k=0\)，则 \(\sigma=(1)\) 是恒等置换，满足。
若 \(\forall k\le{r-1}\)，都成立，下证对 \(k=r\) 成立。
首先，在 \(\sigma\) 变动的元素中任取一个 \(i_1\)，然后找到 \(i_1\) 变动后的象 \(i_2=\sigma(i_1)\)，找到 \(i_2\) 变动后的像 \(i_3=\sigma(i_2)\)，这样 \(t(1\le t\le{r})\) 轮后就可以有 \(i_1=\sigma(i_t)\)。
若 \(t=r\)，则 \(\sigma=\left(i_1i_2\cdots i_t\right)\) 本生就是一个循环置换，成立。
若 \(t<r\)，那么我们把 \(\tau=\left(i_1i_2\cdots i_t\right)\) 从 \(\sigma\) 中去掉，在 \(\sigma'=\left(\begin{matrix}i_1&\cdots&i_t&i_{t+1}&i_{t+2}&\cdots&i_n\\i_1&\cdots&i_t&j_{t+1}&j_{t+2}&\cdots&j_n\end{matrix}\right)\) 中继续我们的过程。此时 \(\sigma'\) 中改变的元素是 \(r-t\le r-1\) 个，显然可以表示成相互独立的循环置换的乘积。因为 \(\sigma'\) 没有改变 \(\tau\) 中改变的元素，所以这些循环置换和 \(\tau\) 也是不相交的。
那么 \(\sigma\) 就可以被表示成若干互相独立的循环置换的乘积：\(\sigma=\tau_1\tau_2\cdots\tau_m\)。
唯一性显然。
对换
长为 \(2\) 的置换称为对换。
任一置换都可以表示为若干对换的乘积。
证明：
如果 \(\sigma\) 是恒等置换，那么 \(\sigma=(12)(12)\)。
只要解决循环置换就可以了。设一个循环置换 \(\sigma=\left(i_1i_2\ldots i_r\right)=\left(i_1i_r\right)\left(i_1i_{r-1}\right)\cdots\left(i_1i_3\right)\left(i_1i_2\right)\)。
偶/奇 置换
若置换 \(\sigma\) 可表示成偶数个对换的乘积，则称之为偶置换。奇置换同理。
\(\sigma=\left(\begin{matrix}1&2&\cdots&s&\cdots&t&\cdots&n\\i_1&i_2&\cdots&i_s&\cdots&i_t&\cdots&i_n\end{matrix}\right)\) 是 偶/奇 置换 \(\Longleftrightarrow i_1,i_2,\ldots,i_n\) 是 偶/奇 排列。
什么是偶排列和奇排列呢？偶排列就是逆序对数为偶数的排列。奇排列同理。
证明：
先证对换相邻的 \(i_{j},i_{j+1}\)，则逆序对奇偶性改变。
对于 \(i_s,i_t(s<t)\) 而言，我们把他们看作许多个相邻对换的积。可以想象，对换的操作是需要偶数次才能还原的，所以最简情况下的奇偶性一定与所有情况的奇偶性相同。
设 \(k=t-s\)，显然 \(i_s\to i_t:\left(i_si_{s+1}\right)\left(i_{s+1}i_{s+2}\right)\cdots\left(i_{t-1}i_t\right),i_t\left(\text{现在操作后是 }i_{t-1}\right)\to i_s:\left(i_{t-1}i_{t-2}\right)\cdots\left(i_{s+1}i_s\right)\)。一共是 \(2k-1\) 次相邻对换。所以改变奇偶性。
交错群
偶置换之积之逆均还是偶置换。\(S_n\) 中所有的偶置换形成一个置换群 \(A_n\)，\(\left|A_n\right|=\dfrac{n!}2\)，称为 \(n\) 次交错群。
同态映射
设 \(\left(G,\circ\right),\left(G',\times\right)\) 是两个群。若 \(\exists f:G\to G'\)，满足 \(\forall a,b\in G,f\left(a\circ b\right)=f(a)\times f(b)\)，则称 \(f\) 为 \(G\) 到 \(G'\) 的同态映射。
特别地，若 \(f\) 为满射，则称 \(G\) 与 \(G'\) 同态，记作 \(G\sim G'\)；若 \(f\) 为双射，则称 \(G\) 与 \(G'\) 同构，记作 \(G\cong G'\)。
Kernel/Image
记映射 \(h:G\to H\)。
\(h\) 的核 \(\operatorname{Ker}\left(h\right)\equiv\{x\in{G}:h(x)=e_H\}\)；\(h\) 的像 \(\operatorname{Im}\left(h\right)\equiv\{h(x):x\in{G}\}\)。
同态的核是正规子群，同态的像是子群。
同态基本定理
令 \(f:G\to G'\) 是群同态，则 \(G/\operatorname{Ker}(f)\cong\operatorname{Im}(f)\)。
证明：
首先给出同构 \(h:\begin{cases}G/\operatorname{Ker}(f)\to\operatorname{Im}(f)\\a\operatorname{Ker}(f)\mapsto f(a)\end{cases}\)。
首先证明 \(h\) 是良定义的，也就是 \(h\left(a\operatorname{Ker}(f)\right)\) 与 \(a\) 的选取无关。
\(\operatorname{Ker}(f)\) 是一个正规子群。所以显然成立。
然后再证明同构。
设 \(h(a\operatorname{Ker}(f))=e_{G'}\)，也就是 \(f(a)=e_{G_1}\)，故 \(a\in\operatorname{Ker}(f)\)，也就是 \(a\operatorname{Ker}(f)=\operatorname{Ker}(f)\)。所以 \(\operatorname{Ker}(h)=\{\operatorname{Ker}(f)\}\)。所以 \(h\) 是单射。
设 \(g\in\operatorname{Im}(f)\)，存在 \(a\in{G}\) 使得 \(f(a)=g\)，于是 \(h(a\operatorname{Ker}(f))=f(a)=g\)，所以 \(h\) 是满射。
所以 \(h\) 是同构。
推论
设 \(\varphi:G\to G'\)，是群的满同态，则 \(G/\operatorname{Ker}(\varphi)\cong G'\)。
同构
\(G\left(\mathbb Z/4\mathbb Z,+\right)\) 和 \(H\left(\{1,i,-1,-i\},\times\right)\)
显然这是两个 \(4\) 阶循环群。所以它们同构。
Cayley 定理
任一群都与一个变换群同构。
证明：
对于群 \(G\)，取集合 \(X=G\)。
\(\forall a\in{G}\)，定义映射 \(\tau_a:X\to X\)。
\(\tau_a\left(x\right)=ax,\forall x\in{X}\)。
根据群的性质，\(\tau_a\) 是集合 \(X\) 上的一一变换，所以 \(\tau_a\in S(X)\)。
定义映射 \(f:\begin{cases}G\to S(x)\\a\mapsto\tau_a\end{cases}\)。
咕咕咕。
标签：right,基基,补档,circ,cdots,摸鱼,sigma,operatorname,left From： https://www.cnblogs.com/LJC001151/p/16753791.html