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群论笔记

Burnside引理

\[置换后本质不同的数量= \frac{1}{置换方式总数} \times 所有置换后与原来相同的构造方案 \]

注意：单位元也是置换

Polya定理

举例说明。

考虑立方体染色问题。分析以相对棱的中点连线为轴的 旋转，如果将前、后、上、下、左、右 6 个面依次编号为 1 到 6，则该置换可以表示为（翻转后原来编号为 1 的面的位置变为了编号为 3 的面，以此类推）：

\[\begin{pmatrix} 1,3,2,4,5,6 \\ 3,1,4,2,6,5 \\ \end{pmatrix} = (1,3)·(2,4)·(5,6) \]

分割成为三个循环群，设其数量为\(k\)。

那么：

\[本质不同的数量=\frac{1}{置换方式总数} \times \sum_{第i种置换} 颜色数^{k_i} \]

详见oiwiki

OIwiki yyds！！！

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