【笔记】Burnside 引理

（轨道公式） $$|G| = |G_x| \cdot |O_x|$$

对于 \(G\) 在 \(\Omega\) 上的群作用，\(\forall x \in \Omega\)，定义 \(O_x := \{g(x) \mid g\in G\}\)，称为 \(x\) 的 \(G\)-轨道。定义 \(G_x:=\{g\in G \mid g(x) = x\}\)，称为 \(x\) 的稳定子群，它的确是 \(G\) 的子群。

而轨道有如下性质:

• \(\forall x,y \in \Omega\)，要么轨道相同，要么无交；

• \(\Omega\) 能写成轨道的不交并；

• 若 \(\Omega\) 是有限集，则 \(|\Omega| = \sum_{i=1}^{t} |O_{x_i}|\)。其中 \(x_i\) 是各个轨道的代表元。

  第一个性质其实就定义了一个等价关系，类似陪集，自然可以对整个集合进行分解，也就可以推出后两条结论。特别地，如果在作用 \(G\) 下只有一条轨道，则称这个作用是可迁的（transitive） 。

  那么轨道公式如何证明呢？想法就是构造同态 \(O_x \to G/G_x\)，然后证明这是一个同构即可。

Lemma (Burnside) 设 \(\Omega,G\) 都是有限集，有 \(G\) 在 \(\Omega\) 上的群作用。记 \(t\) 是 \(\Omega\) 的 \(G\)-轨道条数，则

\[ t = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} F_g \]

其中 \(F_g\) 是在 \(g\) 作用下的不动点个数。

证明：考虑满足一个二元组集合 \(\Gamma := \{(x,g) \mid x\in\Omega,g\in G,gx=x\}\)。若固定 \(g\)，对其计数有 \(|\Gamma| = \sum_{g\in G} F_g\)；若固定 \(x\)，对其计数有 \(|\Gamma| = \sum_{x\in\Omega} G_x = |G|\sum_{x\in \Omega} \frac{1}{|O_x|} = t|G|\)。于是证毕。