函数在某点是连续的,当且仅当它在该点定义,在该点的极限存在,并且该点的极限等于函数值。 步骤 1: 定义函数的连续性 函数 f(x)f(x)f(x) 在其定义域内的某点 x=ax = ax=a 处是连续的,如果满足以下三个条件:
- f(a)f(a)f(a) 定义。
- 极限 limx→af(x)\lim_{x \to a} f(x)limx→af(x) 存在。
- limx→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a)limx→af(x)=f(a)。
步骤 2: 讨论初等函数的间断点 初等函数包括多项式、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数等。这些函数在其定义域内可能会有某些点不连续(即间断点)。
步骤 3: 初等函数在定义域内的连续性
- 多项式: 多项式函数在整个实数范围内(定义域内)都是连续的,没有间断点。
- 有理函数: 有理函数在分母为零的点上有间断点,但在其他定义域内的点上是连续的。
- 指数函数: 指数函数在整个定义域(所有实数)内是连续的。
- 对数函数: 对数函数在其定义域(正实数)内是连续的,但在 x≤0x \leq 0x≤0 处未定义。
- 三角函数: 正弦和余弦函数在整个实数范围内是连续的,而正切和正割函数在其未定义的点(如 x=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pix=2π+kπ)有间断点。
- 反三角函数: 在其定义域内是连续的,但在定义域之外存在间断点。
最终答案 是的,除去间断点之外的定义域内,初等函数都是连续的。这意味着在这些函数的定义域内(不包括间断点),函数值和其极限是一致的,从而满足连续性的条件。
关键概念 函数的定义域内除去间断点,函数都是连续的。
关键概念解释 函数在某点连续的条件是函数在该点定义,该点的极限存在,并且极限值等于函数值。初等函数在其定义域内(不包括间断点)通常都满足这些条件。因此,除去间断点,初等函数在其定义域内是连续的。
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