前言
对于给定解析式的函数，求其定义域时，一般不能对其作变形，尤其是涉及与对数函数有关的函数，更是如此。
典例剖析
【错误解法】解：由于 \(f(x)=\lg\cfrac{x-1}{x+1}=\lg(x-1)-\lg(x+1)\)，[1]
故由 \(x-1>0\) 且 \(x+1>0\)， 得到 \(x>1\)，
故 所求定义域为 \(\{x\mid x>1\}\)；
【正确解法】解：由于 \(f(x)=\lg\cfrac{x-1}{x+1}\)，
则 \(\cfrac{x-1}{x+1}>0\)，即 \((x-1)(x+1)>0\)，
解得，\(x<-1\) 或 \(x>1\)，
故 所求定义域为 \(\{x\mid x<-1\) 或 \(x>1\}\)；
【错误解法】解：由于 \(f(x)=\ln(x+2)+\ln(x-4)=\ln(x+2)(x-4)\) ，[2]
由 \((x+2)(x-4)>0\) ，解得 \(x<-2\) 或 \(x>4\) ；
故 所求定义域为 \(\{x\mid x<-2\) 或 \(x>4\}\)；
【正确解法】解：由 \(\left\{\begin{array}{l}{x+2>0}\\{x-4>0}\end{array}\right.\)
解得 \(x>4\) ， 故 所求定义域为 \(\{x\mid x>4\}\)；
【相关解疑】其一：\(\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}\)，注意，此时必须满足条件 \(M>0\) 且 \(N>0\) . 其二：我们知道 \(a\cdot b>0\) 等价于 \(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{b>0}\end{array}\right.\) 或 \(\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{b<0}\end{array}\right.\) .
特殊例外
凡事都有个例外，有些题目，求定义域时不对函数解析式化简可能就比较难了；
分析：令\(x^2-3=t\)，则\(t\ge -3\)，则\(x^2=t+3\)，\(x^2-4=t-1\)，
故原函数可以改写为\(f(t)=lg\cfrac{t+3}{t-1}(t\ge -3)\)，
即\(f(x)=lg\cfrac{x+3}{x-1}(x\ge -3)\)，
则在\(x\ge -3\)时，还必须\(\cfrac{x+3}{x-1}>0\)，解得\(x<-3\)或\(x>1\)，
故所求定义域必须同时满足条件
\(\left\{\begin{array}{l}{x\ge -3}\\{x<-3，x>1}\end{array}\right.\)，故定义域为\(x>1\)，即\((1，+\infty)\)；
此处的变形是错误的，不是恒等变形，上式只有在 \(x-1>0\) 且 \(x+1>0\) 时是成立的，但如果你注意了恒等变形的条件，你就改变了题目的定义域，因为当 \(x-1<0\) 且 \(x+1<0\) 时，函数 \(f(x)=\lg\cfrac{x-1}{x+1}\) 也是有意义的，所以求定义域的题目一般不对给定的解析式做变形，道理就在这里。再比如 \(y=\lg x^2\) 的定义域为 \(\{x\mid x\neq 0\}\)，而 \(y=2\lg x\) 的定义域却是 \(\{x\mid x>0\}\)， ↩︎
这个变形人为的扩大了定义域的范围， 原因是 \(\left\{\begin{array}{l}{x+2>0}\\{x-4>0}\end{array}\right.\) 和 \((x+2)(x-4)>0\) 不等价。 ↩︎