第八节 函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

连续的定义

定义1:
设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x₀\) 的某一邻域内有定义，如果:

\(\qquad\qquad \Large \underset{\triangle x\rightarrow 0}{\lim}\triangle y=\underset{\triangle x\rightarrow 0}{\lim}[f(x_0+\triangle x)-f(x_0)] = 0\),

那么就称函数 \(y=f(x)\) 在点 x₀ 连续.

定义2:
设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x₀\) 的某一邻域内有定义，如果

\(\qquad\qquad \Large \underset{\triangle x\rightarrow 0}{\lim}f(x)=f(x_0)\),

那么就称函数 \(f(x)\) 在点 \(x₀\) 连续

定义3:
\(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处连续 \(\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exist \delta >0\), 当 \(|x-x_0|<\delta\) 时，有 $|f(x) -f(x_0)|<\varepsilon $.

左连续和右连续

如果 \(\underset{\triangle x\rightarrow 0}{\lim}f(x)=f(x_0^-)\) 存在且等于 \(f(x_0)\), 即：

\(\qquad f(x_0^-)=f(x_0)\),

那么就说函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 左连续。

如果 \(\underset{\triangle x\rightarrow 0}{\lim}f(x)=f(x_0^+)\) 存在且等于 \(f(x_0)\), 即：

\(\qquad f(x_0^+)=f(x_0)\),

那么就说函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 右连续。

  在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续.如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续.

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线

有理整函数：多项式

有理整函数都是连续的
有理分式函数在其定义域内连续

二、函数的间断点

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x₀\) 的某去心邻域内有定义. 在此前提下，如果函数 \(f(x)\) 有下列三种情形之一：
(1)在 \(x=x₀\) 没有定义；
(2)虽在 \(x=x₀\) 有定义, \(\underset{x\rightarrow x_0}{\lim}f(x)\) 不存在；
(3)虽在x=x₀有定义，\(\underset{x\rightarrow x_0}{\lim}f(x)\) 存在, 但 \(\underset{x\rightarrow x_0}{\lim}f(x) \neq f(x_0)\),
那么函数 \(f(x)\) 在点 \(x₀\) 为不连续，而点 \(x_0\) 称为函数 \(f(x)\) 的不连续点或间断点

间断点的常见类型：
无穷间断点
振荡间断点
可去间断点
跳跃间断点

通常把间断点分成两类：如果 \(x₀\) 是函数 \(f(x)\) 的间断点，但左极限 \(f(x^-)\) 及右极限 \(f(x^+)\) 都存在，那么 \(x₀\) 称为函数 \(f(x)\) 的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点. 在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点