引入
行列式是方阵的一个运算，对于方阵 \(A\)，它的行列式记作 \(\text{det} A\) 也记作 \(|A|\)。
定义
全排列定义
记 \(\pi(p_1,p_2,\cdots,p_n)\) 是排列 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\) 的逆序对数量。
\[\text{det} A = \left[ \begin{array} {} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \end{array} \right] \]表示为 \(n\) 阶行列式是指 \(n!\) 项的代数和，这些项是一切取自行列式上的不同行的 \(n\) 个元素的乘积 \(a_{1,p_1},a_{2,p_2},\cdots\,a_{n,p_n}\)。
有如下的计算公式：
\[\text{det} A = \sum\limits_{p_1,p_2,\cdots,p_n}(-1)^{\pi(p_1,p_2,\cdots,p_n)} \times \prod\limits_{i = 1}^n a_{i,p_i} \]性质
全排列的性质
对于一个排列 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\)，如果 \(\pi(p_1,p_2,\cdots,p_n)\) 是奇数则称这是奇排列，反之则是偶排列。
定理
交换排列中的两个数字，排列的奇偶性发生改变。
归纳方法定义
子式
在一个矩阵中，任取 \(k\) 行 \(k\) 列，这些行列的交集进行重新组合拼成一个行列式，这个新的行列式就是这个矩阵的一个 \(k\) 阶子式。
左图中，选取第 \(1,3\) 行和第 \(2, 4\) 列，所得的 \(2\) 阶子式就是右图
\[\left[ \begin {matrix} {} 1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8\\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end {matrix} \right] \Rightarrow \left[ \begin {matrix} {} 2 & 4 \\ 10 & 12 \end {matrix} \right] \]余子式
对于行列式 \(A\)，元素 \(a_{i,j}\) 的余子式是去掉第 \(i\) 行和第 \(j\) 列的行列式余下的 \(n - 1\) 阶子式，用符号 \(M_{i,j}\) 表示。
代数余子式
对于行列式 \(A\)，将元素 \(a_{i,j}\) 的余子式 \(M_{i,j}\) 附以符号 \((-1) ^ {i + j}\) 次方后，就是代数余子式，记作 \(A_{i,j}\)。
主子式
一个矩阵的 \(k\) 阶主子式是指，在矩阵中选取 \(k\) 行 \(k\) 列，要求选取的每一行的标号在选取的列的标号中有。
比如选取了第 \(1,3,4\) 行就要选取第 \(1,3,4\) 列。
代数方法定义
此定义方法是说，满足了某些性质的运算只能是行列式。
性质
- 当行列式是一个上三角矩阵时，行列式的值等于对角线的乘积。
- \(\text{det} A = \text{det} A^T\)。
- 交换行列式的列（行），行列式的值乘 \(-1\)。
- 行列式的某一行（列）乘上 \(k\)，行列式的值乘 \(k\)。
- 行列式可以拆成两个行列式的和。
- 将行列式的某一行（列）加上另一行（列）的 \(k\) 倍，行列式值不变。
推论
根据以上性质，有如下推论：
- 当行列式某行或列是全零的话，行列式的值为零。
- 如果有两行（列）的值完全相等，那么行列式的值为零。
那么就可以根据以上性质，利用高斯消元将行列式消成上三角矩阵进行求解。
标签：text,det,笔记,学习,cdots,行列式,矩阵,余子式 From： https://www.cnblogs.com/zdrj/p/18224846