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【物理】功与能

功

基础概念

定义

一个物体在力的作用下，沿力的方向，通过一段距离（位移），则称这个力做了功。

公式

功的定义式：

\[W = Fx \]

这里的 $x$ 指的是物体沿力的方向上发生的位移。由于力 $F$ 和位移 $x$ 都是矢量，所以得到的功 $W$ 是标量。

注意：虽然 $W$ 是标量，但是 $\pu{-5 J > 3 J}$，因为这里的负号表示做负功，或阻力做功。即对于所有变量，都按照数轴从左到右依次增大，功除外。

功的计算式：

\[W = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow x = Fx \cos \theta \]

这里的 $x$ 指的是实际位移，$\theta$ 表示力与位移的夹角。功的单位是焦耳，字母表示为 $\pu J$。

例：如下图所示，一物体从斜面顶端滑到斜面底端，问重力做的功是多少。

求解：

根据题意可知

\[\begin{aligned} W & = Fx \cos \theta\\ & = Gc \cos \angle 2\\ & = G b \end{aligned} \]

这道题中涉及了两个计算功的方法：

功的计算式，即 $W = Gc \cos \angle 2$，这里的 $c$ 指的是实际位移。
功的定义式，即 $W = Gb$，这里的 $b$ 指的是在力的方向上发生的位移。

对于功的计算式中 $\theta$ 的理解：

首先如下图所示：

对于 $F$ 在 $x$ 方向上做的功，那么考虑将 $F$ 沿图中建系得到的两个方向分解为 $F_x$ 和 $F_y$，那么

\[W_F = W_x + W_y = F \cos \theta \cdot x + 0 = Fx \cos \theta \]
由于在 $y$ 方向上位移为 $0$，所以 $W_F = W_x = Fx \cos \theta$。

计算

恒力做功计算

求大小方向恒定的力做功（例如重力），一般有以下两种思路：

若物体做直线运动，则使用力的「计算式」，即 $W = Fx \cos \theta$，$x$ 表示实际位移。

若物体做曲线运动，则使用力的「定义式」，即 $W = Fx$，$x$ 表示在力的方向上的位移。

注意：求 $F$ 可能需要通过受力分析求出。

例：如图所示，一质量为 $m$ 的小球，用长为 $L$ 的轻绳悬挂于 $O$ 点，小球在水平力恒力 $F$ 作用下，从 $P$ 点移到 $Q$ 点，此时悬线与竖直方向夹角为 $\theta$，则求重力做的功是多少。

分析：

由于物体做曲线运动，所以考虑使用功的「定义式」，那么

\[W = Fx = - m \mathrm g \cdot (L - L \cos \theta) \]

这里力的方向上的位移是 $x = L - L \cos \theta$，这是常见的计算位移的方式。且由于物体位移向上，而重力向下，所以功是负功，这里需要注意功的正负。

变力做功计算

特殊情况：

若变力的方向与位移方向（速度方向）始终垂直，说明在力的方向上没有位移，所以不做功，即 $W_F = 0$。例如物体做圆周运动时提供向心力的力始终与速度方向垂直，不做功。

若变力只有方向改变、大小不改变（例如某些情况下的滑动摩擦力），可以通过 $W_F = Fs \cos \theta$ 计算，其中 $s$ 表示物体经过的路程，$\theta$ 表示 $F$ 与 $s$ 的夹角。此时，$F$ 与 $s$ 的夹角一般始终保持固定，且一般情况下题目中二者的夹角大部分都是 $0^\circ$ 或 $180^\circ$。

一个较为典型的例子：

考虑一物体在粗糙水平面上，向右以初速度 $v_0$ 的速度做直线运动，从某个起始点 $A$ 运动到 $B$ 然后折返回来到 $A$。整个过程中，物体始终受到一个向左的外力 $F$，大小始终不变。物体从 $A$ 到 $B$ 再回到 $A$ 的过程中，外力 $F$ 做的功整体上是多少，滑动摩擦力 $f$ 做的功整体上是多少。

分析：

首先对于外力 $F$，属于大小方向均不变的恒力：

当物体由 $A$ 运动到 $B$ 的过程中，$F$ 与位移方向相反，做负功，这个过程 $W_F = - F x_{AB}$；

当物体由 $B$ 折返回到 $A$ 的过程中，$F$ 与位移方向相同，做正功，这个过程 $W_F = F x_{AB}$。

那么两段路程做的功正负抵消，所以对于整个过程，外力 $F$ 做功为 $0$。

然后对于滑动摩擦力 $f$：

当物体由 $A$ 运动到 $B$ 的过程中，此时 $f$ 与位移方向相反，做负功，这个过程 $W_f = - f x_{AB}$；

当物体由 $B$ 折返回到 $A$ 的过程中，$f$ 与位移方向依然相反，做负功，这个过程 $W_f = - f x_{AB}$。

那么对于整个过程，滑动摩擦力 $f$ 做功为 $W_f = - 2 f x_{AB}$。

若变力只有大小改变，方向不改变，则可以考虑图象法。绘制 $F-x$ 的图象，此时图象围成的面积表示功 $W_F$。图象在 $x$ 轴上方的部分，$F$ 做正功；图象在 $x$ 轴下方的部分，$F$ 做负功。则直接根据图象求出对应面积即可求出功。

例：如图所示，某个力 $F$ 大小等于 $\pu{200 N}$ 保持不变，作用在半径为 $\pu{2 m}$ 的转盘边缘，方向时刻与此时的运动方向相同，当转盘转动一周时，力 $F$ 做了多少功？

分析：

由于大小不变的力 $F$ 的方向时刻与运动方向相同，所以 $\theta = 0^\circ$，那么

\[W = Fs = 20 \times 4 \pi = 80 \pi\ (\pu J) \]

总结：本题属于变力满足方向改变，大小不变的题型，且 $F$ 与 $s$ 夹角始终不变且已知，所以考虑 $W = F s \cos \theta$。求解思想是微元法。

功的正负判断

判断依据

根据 $W = Fx \cos \theta$ 可知：

当 $0^\circ \le \theta < 90^\circ$ 即力与位移夹角为锐角时，$\cos \theta > 0$，功为正。
当 $90^\circ < \theta \le 180^\circ$ 即力与位移夹角为钝角时，$\cos \theta < 0$，功为负；
当 $\theta = 90^\circ$ 即力与位移方向垂直时，$\cos \theta = 0$，不做功。

常见力做功的正负

摩擦力

对于单个摩擦力可能做正功、负功，也可能不做功，下面是一些常见情形：

静摩擦力做正功：人握着话筒往上移动。
静摩擦力做负功：人握着话筒往下移动。
静摩擦力不做功：人握着话筒静止不动。
滑动摩擦力做正功：将一物体以初速度为 $0$ 放在正在运行的传送带上的初始状态。
滑动摩擦力做负功：在地上滑行的物体。
滑动摩擦力不做功：擦黑板，摩擦力对黑板不做功（对板擦做功）。

对于一对摩擦力：

一对静摩擦力：互为相互作用力，大小相同，方向相反，位移相同，考虑做功正负抵消，所以做功之和一定为 $0$。
一对滑动摩擦力：做功之和一定小于 $0$。（具体解释涉及到能量，这里不做赘述。）

相互作用力

误区：一个作用力做正功，另一个作用力一定做负功。

解释：由于一对相互作用力作用到的物体不是同一个物体，而是两个不同的物体，所以无法直接预估做功的正负。

下面是一些常见的情形（例如「一正一负」表示一个作用力做正功，另一个作用力做负功）：

一正一负：两块磁铁，一左一右，左往左动，右往左动。
一正一正：两块磁铁，一左一右，左往左动，右往右动。
一正一零：两块磁铁，一左一右，左往左动，右不动。
一负一负：两块磁铁，一左一右，左往右动，右往左动。
一负一零：两块磁铁，一左一右，左往右动，右不懂。
一零一零：两块磁铁，一左一右，都不动。

重力

重力做功的正负与高度有关：

高度变高：重力做负功。
高度变低：重力做正功。
高度不变：重力做功为 $0$。

合外力

根据合外力 $F$ 的方向与加速度 $a$ 的方向相同，位移 $x$ 的方向与速度 $v$ 方向相同可知：

速度变大：加速运动，$a,v$ 同向，$F,x$ 同向，合外力做正功。
速度变小：减速运动，$a,v$ 异向，$F,x$ 异向，合外力做负功。
速度不变：合外力不做功。

平衡力

一对平衡力做功，大小相等，方向相反，作用在同一个物体上，所以二者做功一正一负，根据同一个物体可知位移相同所以大小相同，做功之和一定为 $0$。

【经典题型】敲钉子做功的计算

问题模型：

用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比，即 $F_f = kx$（其中 $x$ 为铁钉进入木块的深度），在铁锤击打第一次后，铁钉进入木块的深度为 $d$。则：

求铁锤对铁钉做功的大小。
若铁锤对铁钉每次做功都相等，求击打第二次时，铁钉还能进入的深度。

求解方法：图象法。

分析：

对于第一问，发现木块对铁钉的阻力 $F_f$ 实际上方向不变，只有大小改变，那么考虑图象法，绘制 $F_f-x$ 图象求解，如下图所示。

那么图中三角形围成的面积即为铁锤对铁钉做功的大小，所以

\[W = S = \dfrac 1 2 d \cdot kd = \dfrac 1 2 kd^2 \]

对于第二问：

假设击打第二次时，铁钉此时的深度为 $d'$。根据下图可知 $S_1 = S_2$。

根据相似三角形可知：

\[\dfrac{S}{S + S} = \dfrac{d^2}{{d’}^2} \implies \dfrac d {d'} = \dfrac 1 {\sqrt 2} \implies d' = \sqrt 2 d \]

所以铁钉还能进入的深度 $\Delta d = (\sqrt 2 - 1) d$。

功率

基础概念

定义

功率是描述做功快慢的物理量。功率越大，做功越快。

公式

功率的定义式：

\[P = \dfrac W t \]

单位：焦耳每秒 $\pu{J*s-1}$ 或瓦特 $\pu W$。功率是标量。定义式中的功率表示的是平均功率，即平均每秒做功的多少，例如 $\pu{5 s}$ 内的平均功率。

功率的计算式：

\[P = \dfrac W t = \dfrac{Fx \cos \theta}{t} = F v \cos \theta \]

计算式中的功率表示的是瞬时功率，即某个时刻做功的多少，例如第 $\pu{5 s}$ 的功率；这里的 $v$ 表示某时刻的速度，即瞬时速度；$\theta$ 表示 $F$ 和 $v$ 的夹角。

一般情况下计算瞬时功率，求 $v$ 时，可能需要利用牛二力学和运动学中的相关知识。

所以某时刻的功率，与此时做功的力 $F$、瞬时速度 $v$ 和二者的夹角 $\theta$ 有关。

例如：如图所示，一小球在从 $A$ 端由静止移动到 $B$ 端，问从 $A$ 到 $B$ 的过程中重力的功率 $P_G$ 的变化。

分析：

当小球在 $A$ 端时，$v = 0$，所以起初 $P_A = 0$；当小球在 $B$ 端时，此时重力竖直向下，速度水平向左，二者夹角为直角，所以 $\cos \theta = 0$，所以 $P_B = 0$；当小球在从 $A$ 到 $B$ 中间某个点时，分析可知此时 $P_G > 0$。那么整个过程中 $P_G$ 应该是先变大后变小。

汽车启动

额定（恒定）功率启动

相关概念：「额定功率」指发动机的最大功率。一般情况下，这里的「额定功率」对应的是牵引力的功率。

问题模型：一辆汽车在以水平面上，以额定功率从静止开始运动，汽车质量为 $m$，运动过程中所受到的阻力 $f$ 大小恒定，牵引力为 $F$。

运动状态分析：

首先对启动后的汽车进行受力分析：

\[\begin{cases} ma = F - f\quad (1)\\ F_N = m \mathrm g \end{cases} \]

同时根据 $P = Fv$（此时 $\theta = 0$ 所以 $\cos \theta = 1$）可得 $F = \dfrac P v~ (2)$。

那么在最开始，由于物体从静止开始运动，所以物体有加速度 $a$，因为 $a,v$ 同向，所以 $v$ 增大，由于 $P$ 为额定功率始终不变，所以根据 $(2)$ 可知 $F$ 减小，那么根据 $(1)$，由于 $f$ 恒定，所以 $a$ 减小，那么汽车做加速度减小的加速运动。

当 $F$ 减小到与 $f$ 相同时，$a = 0$，所以物体速度不变，做匀速直线运动，其 $v - t$ 图象如下。

解题思路：

找出研究对象。
找出题目条件对应的运动段。
画图，对该运动段的研究对象受力分析。
列出对应的受力分析式（平衡/牛二）。

注意：一般情况下，无论题目求的是哪个运动段，都要分析匀速运动阶段。

解题的语言描述：对「研究对象」的「某运动段」进行受力分析，如图（画出图像），列出「平衡式/牛二式」。

例：汽车发动机的额定功率为 $\pu{60 kW}$，汽车质量为 $\pu{5 t}$，运动中所受阻力的大小恒为车重的 $0.1$ 倍。（$\mathrm g$ 取 $\pu{10m/s^2}$），求：若汽车以额定功率启动，汽车所能达到的最大速度是多少？

分析：

涉及到「汽车所能到达的最大速度」，说明指的是汽车做匀速运动的运动段。

那么考虑对汽车的匀速运动阶段进行受力分析，如图所示。

则：

\[\begin{cases} f = F\\ F_N = G \end{cases} \implies \begin{cases} 0.1 m \mathrm g = \dfrac P v\\ F_N = m \mathrm g \end{cases} \implies v = \pu{12 m/s} \]

恒定加速度启动

问题模型：一辆汽车在以水平面上，以恒定加速度从静止开始运动，汽车质量为 $m$，运动过程中所受到的阻力 $f$ 大小恒定，牵引力为 $F$。

运动状态分析：

受力分析同「额定（恒定）功率启动」。

那么当 $a$ 恒定时，根据 $(1)$ 和 $f$ 始终不变，可得 $F$ 保持不变。由于 $a,v$ 同向，所以 $v$ 增大，又根据 $(2)$，要使得 $F$ 不变，则 $P$ 增大，且 $v,P$ 等比例增大。

当 $P$ 达到汽车的最大功率时，由于受力不变，所以 $a$ 仍保持不变，那么 $v$ 仍然会增大；那么由于 $P$ 不变，所以 $F$ 减小。此时题目变成了 $P$ 恒定，所以后续与「额定（恒定）功率启动」情况相同。

那么整个过程中的 $v - t$ 图象如下：

$P-t$ 图象如下：

本质：起初 $a$ 不变，后来 $P$ 不变的运动。

解题思路：

一般要分析两个关键点：

匀加速直线运动变成加速度减小的加速度运动的点；
加速度减小的加速运动变成匀速直线运动的点（匀速直线运动阶段）。

解题的语言描述同「额定（恒定）功率启动」。

$F - \dfrac 1 v$ 图象

解题思路：首先通过图象搞清楚汽车启动的类型是「恒定功率启动」还是「恒定加速度启动」。注意，由于横轴表示的是 $\dfrac 1 v$ 而不是 $v$，所以横轴从右向左，才表示 $v$ 从 $0$ 开始增大。那么当 $v$ 从 $0$ 开始增大时，若 $F$ 起始阶段保持不变，则属于「恒定加速度」启动；反之，则属于「恒定功率」启动。然后考虑利用对应的启动类型来分析问题。

例：一辆汽车质量为 $\pu{1E3 kg}$，最大功率为 $\pu{2E4 W}$，在水平路面由静止开始做直线运动，最大速度为 $v_2$，运动中汽车所受阻力恒定。发动机最大牵引力为 $\pu{3E3 N}$，其行驶过程中牵引力 $F$ 与车速的倒数 $\dfrac 1 v$ 的关系如图所示，试求：

$v_2$ 的大小。
保持匀加速运动的时间是多少。

分析：

$x$ 轴从右到左，$v$ 从 $0$ 开始逐渐增大，且初始阶段 $F$ 保持不变，所以属于「恒定加速度启动」。那么首先考虑分析两个关键点的运动状态。

第一个关键点，即当汽车做匀速直线运动阶段，对应有 $F = \pu{1E3 N}$ 且 $\dfrac 1 v = \dfrac 1 {v_2}$ 考虑对汽车匀速阶段受力分析有：

\[\begin{cases} F = f\\ F_N = G \end{cases} \implies f = F = \dfrac{P}{v_2} = \pu{1000 N} \implies v_2 = \pu{20 m/s} \]

第一个关键点，即当汽车匀加速运动到最大速度时，对应有 $F = \pu{3E3 N}$ 且 $\dfrac 1 v = \dfrac 1 {v_1}$，此时对汽车受力分析有：

\[ma = F - f \ = 3000 - 1000 = \pu{2000 N} \implies a = \pu{2 m/s^2} \]

同时根据 $F = \dfrac P {v_1}$ 可知 $v_1 = \dfrac{P}{F} = \dfrac {20000}{3000} = \pu{\dfrac{20}{3}m/s}$，所以匀加速运动的时间是 $t = \dfrac{v_1}{a} = \pu{\dfrac{10}{3}s}$。

动能定理

基础概念

动能

定义：一个物体因运动所具有的能量。

计算式：

\[E_k = \dfrac 1 2 m v^2 \]

单位：焦耳 $\pu J$。动能是标量。

动能定理

内容：

合外力做的功等于动能的变化量，即：

\[W_合 = \Delta E_k = E_{k~末} - E_{k~初} = \dfrac 1 2 m {v_t}^2 - \dfrac 1 2 m {v_0}^2 \]

推导过程：

\[\begin{aligned} & 2ax = {v_t}^2 - {v_0}^2\\ \implies & 2 \dfrac{F_合}{m} x = {v_t}^2 - {v_0}^2\\ \implies & F_合 x = \dfrac 1 2 m {v_t}^2 - \dfrac 1 2 m {v_0}^2\\ \implies & W_合 = \Delta E_k \end{aligned} \]

注意：在具体题目中，一般求 $W_合$ 的方式为 $W_合 = W_1 + W_2 + W_3 + \cdots $，所以在代入每一个 $W_i$ 时，无论它是正功还是负功，都直接代入，例如 $W_1 = \pu{3 J},W_2 = \pu{-5 J},W_3 = \pu{1 J}$，则 $W_合 = W_1 + W_2 + W_3 = 3 - 5 + 1 = \pu{-1 J}$。

解题思路：

找出研究对象。
找到对应的运动段：一般涉及到两个关键点，即从哪到哪。
找到做功的力。
列出动能定理的式子。

解题的语言描述：对「研究对象」的「从 $A$ 到 $B$ 的运动段」列出对应 $W_F$ 的动能定理式。

注意：一般情况下大题要运用动能定理时，最好写出 $W_合 = \Delta E_k$。

【模型】单段运动 - 圆周

基本知识

前置知识：

绳模型中运动到最高点时，其速度 $v = \sqrt{\mathrm gr}$。
杆模型中运动到最高点时，其速度 $v = 0$。

绳模型与杆模型的区别：绳子最高点无支撑，杆最高点有支撑。

重要技巧：

若题目告诉了某点的受力情况，则一定要通过受力分析将受力转换成速度，即

\[F_合 = F_大 - F_小 = m \dfrac{v^2}{r} \]

例题

例 1：如图所示，一绳长为 $\pu{2.5 m}$ 细绳系着一质量为 $\pu{4 kg}$ 的小球，若小球恰好在竖直平面内做圆周运动（$\mathrm g$ 取 $\pu{10m/s^2}$），问：

小球通过最低点的速度是多少？
通过最低点的拉力是多少？

分析：

对于第一问，考虑小球从 $A\to B$ 的运动段，做功的力是重力，那么根据 $W_合 = \Delta E_k$ 有：

\[W_G = \dfrac 1 2 m {v_B}^2 - \dfrac 1 2 m {v_A}^2 \implies m \mathrm g h = \dfrac 1 2 m{v_B}^2 - \dfrac 1 2 m \mathrm g r \implies {v_B}^2 = 4 \mathrm g L + \mathrm g L \implies v_B = \sqrt{5 \mathrm g L} = 5 \sqrt 5 \]

对于第二问，考虑对最低点的小球受力分析，则有

\[F_合 = F - m \mathrm g = m \dfrac{v^2}{r} \implies F = m \mathrm g + m \dfrac{v^2}{r} = m\mathrm g + m \dfrac{5\mathrm g r}{r} = 6m \mathrm g = \pu{240N} \]

注意：对于第一问 $h = 2L$ 而不是 $h = L$。

例 2：如图所示，竖直平面内一半径为 $R$ 的半圆形轨道，两边端点等高，一个质量为 $m$ 的质点从左端点由静止开始下滑，滑到最低点时对轨道压力为 $2m \mathrm g$，$\mathrm g$ 为重力加速度，则此下滑过程克服摩擦力做的功是多少？

分析：

此题目告诉了小球滑到最低点时的相关受力，所以考虑通过受力转化为速度。

那么首先考虑对最低点的小球受力分析有

\[F_合 = 2m \mathrm g - m \mathrm g = m \dfrac{v^2}{R} \implies v = \sqrt{\mathrm gR} \]

题目求的是「下滑过程中克服摩擦力做的功」，发现此时摩擦力方向不断改变，且根据 $f = \mu F_N$，$F_N$ 不确定，所以 $f$ 也不确定，所以不能直接利用功的计算式或定义来求解。考虑动能定理。

那么对小球从 $P \to Q$ 的运动段分析，此时做功的力为重力 $G$ 和摩擦力 $f$，那么根据动能定理 $W_合 = \Delta E_k$ 有：

\[\begin{aligned} & W_G + W_f = \dfrac 1 2 m {v_Q}^2 - \dfrac 1 2 m {v_P}^2\\ \implies & m \mathrm g R + W_f = \dfrac 1 2 m \mathrm g R\\ \implies & W_f = - \dfrac 1 2 m \mathrm g R \end{aligned} \]

所以摩擦力做的功是 $- \dfrac 1 2 m \mathrm g R$，那么克服摩擦力做的功是 $\dfrac 1 2 m \mathrm g R$。

例 3：美国的 NBA 篮球赛非常精彩，吸引了众多观众，经常能看到这样的场面：在终场前 $\pu{0.1 s}$ 的时候，运动员把球投出且准确命中，获得比赛的最后胜利，已知球的质量为 $m$，运动员将篮球投出，球出手时的高度为 $h_1$，动能为 $E_k$，篮筐距地面高度为 $h_2$。不计空气阻力。则篮球进框时的动能是多少？

分析：

对篮球从投出到进框的运动段分析，此时做功的力为重力 $G$，根据动能定理 $W_合 = \Delta E_k$ 有

\[- m \mathrm g (h_2 - h_1) = E_{k~末} - E_{k~初} \implies E_{k~末} = E_k + m \mathrm g h_1 - m \mathrm g h_2 \]

注意：这里的 $G$ 做负功，而非正功，所以 $W_G = - m \mathrm g (h_2 - h_1)$。

例 4：某人在高 $h$ 处抛出一个质量为 $m$ 的物体，不计空气阻力，物体落地时速度为 $v$，该人对物体所做的功为多少。

分析：

对物体从抛出到落地的运动段分析，此时做功的力有人对物体的作用力 $F_人$ 和重力 $G$，根据动能定理 $W_合 = \Delta E_k$ 有

\[W_人 + m \mathrm g h = \dfrac 1 2 m v^2 \implies W_人 = \dfrac 1 2 m v^2 - m \mathrm g h \]

总结：利用动能定理解决问题时，对于 $W_合$，有时候不一定要找出所有做功的具体的力，例如本题中将「人对物体的作用力」作为做功的力之一，但是并不清楚人对物体做了几个力，或者其力的性质是什么。同时，题目求「人对物体所做的功」也暗示了要将人对物体的作用力整体作为做功的力来看待。

【模型】多段运动 - 直线

基本知识

【解题关键点】如何选取初末状态。

【问题类型】

求某点的物理量：一般选用该点对应状态为其中一个状态（初/末状态），再选用另一个速度已知的点为另一状态（末/初状态）。
求某一段的物理量：选用两个速度已知的点为初末状态。

例题

例 1：民用航空客机的紧急出口打开时，会自动生成一个由气囊构成的斜面，模型简化如图所示。光滑斜面的竖直高度 $AB = \pu{3.2 m}$，斜面长 $AC = \pu{4.0 m}$，斜面与水平地面 $CD$ 段间有一段小圆弧平滑连接。当物体由静止开始滑下，其与地面间的动摩擦因数均为 $\mu = 0.5$，不计空气阻力，$\mathrm g = \pu{10 m/s^2}$，求：

人滑到斜面底端 $C$ 时的速度大小。
人离开 $C$ 点后还要在地面上滑行多远才能停下。

分析：

对于第一问，由于求的是 $C$ 点的速度，同时 $A$ 点静止（说明速度为 $0$），则考虑对人从 $A \to C$ 的运动段分析，此时做功的力为重力 $G$，根据动能定理 $W_合 = \Delta E_k$ 有

\[m \mathrm g h = \dfrac 1 2 m {v_c}^2 \implies v_c = \sqrt{2 \mathrm g h} = \pu{8m/s} \]

对于第二问，求的是从 $C$ 点到停下这一段的距离，发现 $v_C$ 和 $v_D$ 已知，所以考虑对人从 $C \to D$ 的运动段分析，此时只有滑动摩擦力 $f$ 做功，根据动能定理 $W_G = \Delta E_k$ 有

\[W_f = 0 - \dfrac 1 2 m {v_C}^2 \implies - \mu m \mathrm gx = - \dfrac 1 2 m {v_c}^2 \implies x = \pu{6.4 m} \]

注意：这里的 $W_f$ 做负功，而不是正功。

另解：

对于第二问，若选取 $A \to D$ 的运动段分析，则此时做功的力为重力 $G$ 和滑动摩擦力 $f$，则有

\[W_G + W_f = 0 \implies m \mathrm g h = \mu m \mathrm g x \implies x = \dfrac h \mu = \pu{6.4 m} \]
所以选用不同的初末状态对应的力的做功不同，计算量也不同。应该在平时做题中多体会选择合适初末状态的技巧，从而加快计算速度。

一般情况下，只要选取的初末状态包含在题目涉及的运动段当中，基本都是可解的。

例 2：如图所示，一粗糙斜面 $AB$ 于光滑圆弧轨道 $BCD$ 相切，$O$ 为圆弧轨道的圆心，$OD$ 处在同一水平面上，$C$ 为圆弧轨道的最低点，圆弧 $BC$ 所对圆周角 $\theta = 37^\circ$。已知斜面 $AB$ 的长度为 $L = \pu{2.0 m}$，圆弧轨道半径为 $R = \pu{0.5 m}$，质量为 $m = \pu{1 kg}$ 的小物块（可视为质点）从斜面顶端 $A$ 点处由静止开始沿斜面下滑，从 $B$ 点进入圆弧轨道运动并从轨道边缘 $D$ 点竖直向上飞出，离开 $D$ 点以后上升的最大高度为 $h = \pu{0.4 m}$，$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$，重力加速度 $\mathrm g = \pu{10 m/s^2}$，空气阻力不计，求：

物块第一次经 $C$ 点时对圆弧轨道的压力。
物块第一次返回斜面运动的最高点距 $A$ 点的距离。

分析：

首先对于第一问，由于求的是「$C$ 点的物理量」，所以选择 $C$ 点作为一个状态点。此时 $A$ 点速度已知，但由于从 $A \to C$ 的运动段中，有重力 $G$ 和滑动摩擦力 $f$ 做功，但是由于此时粗糙面 $\mu$ 未知，所以 $W_f$ 无法求出，且此时 $C$ 点速度未知，所以不能选取 $A$ 点作为另一个状态点。

设物体从 $D$ 点竖直向上飞出后，当其运动到 $E$ 点时速度为 $0$，且 $C \to E$ 只有重力做功。那么考虑对 $C \to E$ 运动段分析，则根据 $W_合 = \Delta E_k$ 有

\[\begin{aligned} & W_G = E_{KE} - E_{KC}\\ \implies & - m \mathrm g H = \dfrac 1 2 m {v_E}^2 - \dfrac 1 2 m {v_C}^2\\ \implies & v_C = \sqrt{2\mathrm g (R + h)} \end{aligned} \]

那么在 $C$ 点有：

\[\begin{aligned} & F_合 = F_N - m \mathrm g = m \dfrac{{v_C}^2}{R}\\ \implies & F_N = m \dfrac{2\mathrm g (R + h)}{R} + m \mathrm g\\ \implies & F_N = \pu{46 N} \end{aligned} \]

对于第二问，第一次返回斜面运动的最高点为 $F$。考虑选取从 $C \to F$ 的运动段分析，这个过程中滑动摩擦力 $f$ 和重力 $G$ 做功。此时依然不知道 $\mu$，所以考虑求出 $\mu$。

此时 $A$ 点和 $E$ 点的速度已知，都为 $0$，考虑对 $A \to E$ 的运动段分析，此时滑动摩擦力 $f$ 和重力 $G$ 做功，那么根据动能定理 $W_合 = \Delta E_k$ 有

\[\begin{aligned} & W_f + W_G = E_{KE} - E_{KA}\\ \implies & \mu m \mathrm g \cos \theta L + m\mathrm g(L \sin \theta + R - R \cos \theta - H) = 0\\ \implies & \mu = \dfrac{\mathrm g (L \sin \theta + R - R \cos \theta - R - h)}{\mathrm g \cos \theta L} = \dfrac 1 4 \end{aligned} \]

那么再选取从 $C \to F$ 的运动段分析，根据动能定理有：

\[\begin{aligned} & W_f + W_G = E_{KF} - E_{KC}\\ \implies & - \mu m \mathrm g \cos \theta x - m \mathrm g (x \sin \theta + R - R \cos \theta) = - \dfrac 1 2 m {v_C}^2 \\ \implies & x(\mu \mathrm g \cos \theta + \mathrm g \sin \theta) = \dfrac 1 2 \times 2 \mathrm g (R + h) - \mathrm g(R - R \cos \theta)\\ \implies & x = \pu{1 m} \end{aligned} \]

所以最高点距离 $A$ 的距离为 $2 - 1 = \pu{1 m}$。

总结：对于解题过程中发现未知的物理量，要善于利用合适的运动段分析，通过动能定理求出该物理量，然后求解，例如本体中的 $\mu$。

【模型】往返运动

问题模型：如图所示，粗糙的斜面 $AB$ 下端与光滑的圆弧轨道 $BCD$ 相切于 $B$，整个装置竖直放置，$C$ 是最低点，圆心角 $\angle BOC = \theta = 37^\circ$，$D$ 与圆心 $O$ 登高，圆弧轨道半径 $R = \pu{1.0 m}$，斜面长 $L = \pu{4.0 m}$，现有一个质量 $m = \pu{1.0 kg}$ 的小物体 $P$ 从斜面 $AB$ 上端 $A$ 点无初速度下滑，物体 $P$ 与斜面 $AB$ 之间的动摩擦因数为 $\mu = 0.25$，$\mathrm g$ 取 $\pu{10 m/s^2}$，求：

物体 $P$ 从空中又返回到圆轨道和斜面，做往复运动，在整个过程中，物体 $P$ 对轨道上 $C$ 点的最小压力是多大？
物体 $P$ 从空中又返回到圆轨道和斜面，做往复运动，在整个过程中，物体在 $AB$ 上运动的路程是多少？

求解思路：

对于第一问，首先发现，当物体运动到 $E$ 折返回到斜面 $AB$ 上时，由于摩擦力做功，机械能会转化为热能，所以每次折返回到粗糙斜面 $AB$ 时，能到达的最高高度会越来越小，设每次到达的最高点为 $F$。同时根据题意可知 $\mu < \tan \theta$，所以物体到达 $AB$ 斜面后，不会静止在 $AB$ 面上。考虑对 $C \to F$ 的运动段分析，根据动能定理有 $- m \mathrm g h - fs = 0 - \dfrac 1 2 m{v_C}^2$，那么此时 $h$ 和 $s$ 均减小，所以 $v_C$ 减小。

设圆弧轨道 $C$ 点右侧与 $B$ 点等高处为 $B'$ 点。那么当下降的高度逐渐减小，直至 $F$ 点与 $C$ 点重合时，考虑对物体从 $B \to C$ 的运动段分析，此时只有重力做功，所以物体会始终会在圆弧 $BB'$ 上一直做往返运动，那么此时 $C$ 点的速度就是最小速度。则根据动能定理有

\[m \mathrm g (R - R \cos 37^\circ) = \dfrac 1 2 m {v_C}^2 \implies v_C = \pu{2 m/s} \]

对 $C$ 点受力分析有：

\[m \dfrac{{v_C}^2}{R} = F_N - m \mathrm g \implies F_N = \pu{14 N} \]

那么此时 $C$ 点所受的压力也最小，所以物体 $P$ 对轨道上 $C$ 点的最小压力为 $\pu{14 N}$。

对于第二问，可以发现物体在斜面 $AB$ 上做往返运动时，摩擦力只有方向改变，而大小不变，而对于方向改变大小不变的力做功，我们的计算方式是 $W_f = fs \cos \theta$，此时 $\theta = 0$，所以可以考虑利用 $W_f = fs$ 将物体在 $AB$ 上运动的路程求出。

根据上述的分析过程可知，物体的运动是从 $A$ 点以初速度为 $0$ 开始运动到 $E$ 点，然后再返回 $AB$ 斜面不断往返运动，当物体运动的最高点 $F$ 与 $B$ 点重合时，物体在斜面上不再做功。所以整个过程中，摩擦力做功的运动段是从 $A$ 点进行若干次往返运动后回到 $B$ 点的运动段。此时初状态速度为 $0$，末状态速度也为 $0$。那么考虑对这一运动段分析，有重力和摩擦力做功，根据动能定理有

\[\begin{aligned} & W_G + W_f = 0 \\ \implies & m \mathrm g L \sin \theta = \mu m \mathrm g \cos \theta s \\ \implies & s = \pu{1.2 m} \end{aligned} \]

总结：

对于第一问，有三个关键点：

往返运动物体为什么不会返回 $A$ 点：涉及到一部分能量和机械能守恒的知识，这里简单来讲就是摩擦做功生热，会导致机械能转化为热能，从而使得机械能整体逐渐减小，导致往返运动在斜面上不会返回 $A$ 点（速度为 $0$ 的点始终低于 $A$）。

做往返运动的过程中为什么物体不会静止在某个地方不动：在斜面 $AB$ 的最高点，始终有 $\mu < \tan \theta$，根据牛二力学的相关知识可知，物体势必一定会滑下；在圆弧轨道上，物体始终受重力 $G$，受力不平衡。

建立「最小压力」和「最小速度」的关系：题目求最小压力，考虑到对 $C$ 受力分析，那么根据 $m \dfrac{{v_C}^2}{R} = F_N - m \mathrm g$ 将最小压力转化为最小速度，再根据动能定理将最小速度转化为「往返运动时能够运动到的最高点的最低位置（也就是此题的 $B$ 点）」。

对于第二问，有一个关键点：题目求的是路程，那就考虑学过的与路程有关的定义式/计算式，发现只有在「变力做功计算」中学过的方向改变，大小不改变的力的做功，结合此题，这里方向改变大小不改变的力即为摩擦力，那么考虑根据 $W_f = fs \cos \theta$ 求解。

根据这道题可以总结出有关往复运动的一些技巧：

题目求某点的某物理量的最值，可以通过受力分析转化为其它物理量的最值，再根据动能定理求出对应的最值。
求解往复运动问题的关键点在于「分析运动过程」，借助机械能守恒和能量相关的知识可以更好的分析出运动过程。

【模型】链条（无法看成质点）的动能定理

解题方法

画出初 - 末状态图。
对比图象找出变化部分的物体：一般情况下可看作物体（链条）的某一段运动，而不是整体运动。
找出变化部分的质心变化列动能定理：相当于将变化部分物体看成质点，转化为传统的动能定理求解。

例题

例 1：质量为 $m$ 的均匀链条长为 $L$，开始放在光滑的水平桌面上时，有 $\dfrac 1 4$ 的长度悬再桌边缘，如图所示。松手后，链条滑离桌面，问：从开始到链条滑离桌面过程中重力做了多少功？

分析：

初末状态原题中已经画出。对比初末状态图象，可以发现相当于初始状态水平的 $\dfrac 3 4 L$ 的链条，运动到末状态下方的 $\dfrac 3 4 L$ 链条，变化部分的质心恰好为对应这两部分链条的几何中心，如图所示：

那么此时变化部分的质心下降的高度为 $h = \dfrac 1 4 L + \dfrac 1 4 L \times \dfrac 1 2 = \dfrac 5 8 L$。那么整个过程重力做功为：

\[W_G= Gh = \dfrac 3 4 m \mathrm g \times \dfrac 5 8 L = \dfrac {15}{32} m \mathrm g L \]

例 2：如图所示，质量为 $m$ 的均匀链条长为 $L$，水平面光滑，$\dfrac L 2$ 垂在桌面下，将链条由静止释放，设桌面的高度大于 $L$，则链条全部滑离桌面时（）

A. 其动能为 $\dfrac 1 2 m \mathrm g L$

B. 其速度为 $\dfrac{\sqrt{3\mathrm g L}}{2}$

C. 其速度为 $\dfrac{\sqrt{5 \mathrm g L}}{2}$

D. 重力做功为 $\dfrac 3 8 m \mathrm g L$

分析：

同理上题可知，变化部分物体质心竖直位移为 $h = \dfrac L 2 + \dfrac L 4 = \dfrac 3 4 L$，此时

\[W_G = \dfrac 1 2 m \mathrm g \cdot \dfrac 3 4 L = \dfrac 3 8 m \mathrm g L \]

那么根据动能定理可知

\[\dfrac 3 8 m \mathrm g L = \dfrac 1 2 m v^2 \implies v = \dfrac {\sqrt{3 \mathrm g L}}{2} \]

故选 BD。

注意：求链条重力所做的功时，相当于只有 $\dfrac 1 2$ 的链条做功，所以这里代入的 $G$ 是 $\dfrac 1 2 m \mathrm g$；而利用动能定理求链条的速度时，涉及的是整个链条的速度和动能，所以代入 $\dfrac 1 2 m v^2$ 中的 $m$ 是整个链条的质量。

摩擦力做功的特点

直线运动

基本知识

前提：① 不受外力；② 直线运动。

特点：斜面摩擦力 $\times$ 斜面距离 $=$ 水平面摩擦力 $\times$ 水平面距离。

如图所示，那么有：

\[W_f = - \mu m \mathrm g \cos \theta \cdot a = - \mu m \mathrm g(\cos\theta \cdot a) = - \mu m \mathrm g \cdot b \]

其中，$\mu m \mathrm g \cos \theta$ 是斜面摩擦力，$a$ 是斜面距离，$\mu m \mathrm g$ 是水平（地面受到的）摩擦力，$b$ 是水平距离。

例题

例 1：如图所示，一木块沿着高度相同、倾角不同的三个斜面由顶端静止滑下，若木块和各斜面间的动摩擦因数相同，则滑到底端时的动能大小关系是什么。

分析：

根据 $W_合 = m \mathrm g h + W_f = \dfrac 1 2 m v^2$，由于三个斜面的高度相同，所以 $m \mathrm g h$ 相同，那么只需要比较 $W_f$。

根据直线运动中摩擦力做功的特点可知 $W_f = \mu m \mathrm g s$，其中 $s$ 表示水平面距离。因为 $AB < AC < AD$，所以倾角越大，$W_f$ 越大，则动能越大。

例 2：如图所示，$OD$ 是水平面，$AB$ 是斜面，初速度为 $v_0$ 的物体从 $D$ 点出点除法沿 $DBA$ 滑动到顶点 $A$ 时速度刚好为零。如果斜面改为 $AC$，让该物体从 $D$ 点出发沿 $DCA$ 滑动到 $A$ 点且速度刚好为零，则物体具有的初速度和 $v_0$ 的大小关系如何？（已知物体与接触面之间的动摩擦因数处处相同且不为零）

分析：

设物体沿 $DBA$ 运动摩擦力做的功为 $W_f$，沿 $DCA$ 运动初速度为 ${v_0}'$，摩擦力做的功为 ${W_f}'$。则对两次运动利用动能定理分析有：

\[- m \mathrm g h + W_f = 0 - \dfrac 1 2 m {v_0}^2\\ - m \mathrm g h + {W_f}' = 0 - \dfrac 1 2 m {{v_0}'}^2 \]

那么对于物体沿 $DBA$ 的运动，摩擦力做的功等于 $AB$ 段摩擦力做的功加上 $BD$ 段摩擦力做的功，即

\[W_f = W_{AB} + W_{BD} = W_{OB} + W_{BD} =W_{OD} \]

同理，物体沿 $DCA$ 运动，摩擦力做的功等于 $AC$ 段摩擦力做的功加上 $CD$ 段摩擦力做的功，即

\[{W_f}’ = W_{AC} + W_{CD} = W_{OC} + W_{CD} = W_{AD} \]

所以 $W_f = {W_f}'$。

总结：要善于将斜面上摩擦力做功转化为水平面上摩擦力做功求解。

曲线运动

基本知识

特点：

对于不同运动轨迹，滑动摩擦力 $\mu F_N$ 中 $F_N$ 的大小与运动的曲面有关：是凹面还是凸面（体现在下方例 1）。
对于同一运动轨迹，$F_N$ 的大小与速度大小 $v$ 有关：可以对轨迹上一点进行受力分析求出二者关系（体现在下方例 2）

例题

例 1：如图所示，上凸桥 $ABC$ 和凹桥 $A'B'C'$ 由相同材料制成，轨道半径和粗糙程度相同，有一小物体前后两次以相同的初速度经两桥面到 $C$ 和 $C'$，若路程相同，则到达 $C$ 的速度 $v$ 和到达 $C'$ 的速度 $v'$ 的大小关系如何？

分析：

对于上凸桥和凹桥的两个运动段，根据动能定理有

\[m \mathrm g h - \mu F_N s = \dfrac 1 2 m v^2 - \dfrac 1 2 m {v_0}^2\\ m \mathrm g h - \mu {F_N}'s = \dfrac 1 2 m {v'}^2 - \dfrac 1 2 m {v_0}^2 \]

由于两段运动 $h,\mu,s$ 均相同，所以只需要比较 $F_N$ 和 ${F_N}'$ 的大小关系。

那么对于上凸桥有 $F_合 = m \mathrm g - F_N$，对于下凹桥有 $F_合 = {F_N}’ - m \mathrm g$，所以 ${F_N}' > m \mathrm g > F_N$，所以 $v > v'$。

例 2：如图所示，一物块以 $\pu{3 m/s}$ 的初速度从曲面 $A$ 点下滑，运动到 $B$ 点速度仍为 $\pu{3 m/s}$。若物体以 $\pu{2 m/s}$ 的初速度仍由 $A$ 点下滑，则它运动到 $B$ 点时的速度与 $\pu{2 m/s}$ 的大小关系如何。

分析：

首先对物体从 $A \to B$ 的运动段分析，此时重力 $G$ 和滑动摩擦力 $f$ 做功，根据动能定理有

\[m \mathrm g h + W_f = \dfrac 1 2 m {v_B}^2 - \dfrac 1 2 m {v_A}^2 \]

当初速度 $v_A = \pu{3 m/s}$ 时，根据题意可知 $v_B = v_A$，所以 $W_合 = m \mathrm g h + W_f = 0$。

由于$m \mathrm g h$ 始终保持不变，摩擦力做功 $W_f = \mu F_N s$，$\mu,s$ 由于是同一轨道所以不便。那么需要判断 $v_A$ 变为 $\pu{2 m/s}$ 后对 $F_N$ 的大小影响。

对 $A \to B$ 轨道上任意一点进行受力分析如下图所示：

那么有

\[F_N - G_x = m \dfrac{v^2}{r} \]

由于 $v_A$ 增大，所以 $F_N$ 增大，又由于 $W_f$ 是负功，所以摩擦力做的负功更少，所以 $v_B> v_A$。即到达 $B$ 点时的速度 $v_B > \pu{2m/s}$。（若做功相较于 $v_A = \pu{3 m/s}$ 不变，则 $W_合 = 0$，由于现在做的负功更少，所以 $W_合 > 0$，那么 $v_B > v_A$）

能量

基础介绍

动能：由于物体运动所具有的能量。

内能：可以通俗的理解为物体因为发热所具有的能量（发热量）。

势能：物体具有「潜在的（potential）能量」，或者可以理解为「对外做功的能力」，与物体所在空间位置有关。

学习能量的两大目的：

应用到动能定理中，一般情况下求对应的能量可以转化为力做的功。
弄清楚什么力做功会改变这个能量。

重力势能

定义

重力势能用 $E_{PG}$ 表示，单位为焦耳 $\pu J$。其定义式为

\[E_{PG} = m \mathrm g h \]

其中，$h$ 表示物体距离 "$0$" 势能面的高度，若物体比零势能面高，则 $h > 0$；反之，$h < 0$。那么 $h$ 是标量，则其大小直接与数轴上点的位置相关，数轴上左边的点比右边的点小。

注意：若题目没有说明，则默认地面为 $0$ 势能面；若题目已经说明，则选用题目给定的 $0$ 势能面。有些大题可以自己选用 $0$ 势能面，一般情况下选用题目中最低的平面作为 $0$ 势能面，目的是保证所有的重力势能都为正，方便计算。

特征

物体的重力势能 $E_{PG}$ 与 $0$ 势能面的选取有关；但重力势能的变化量 $\Delta E_{PG}$ 与 $0$ 势能面的选取无关。

注意：题目中「势能的变化量」是末状态势能 $-$ 初状态势能，有可能为负。若题目直接求「势能的减少量」，此时一般都是大势能 $-$ 小势能，一般都为正。

重力势能与功的关系

重力势能反应的是物体对外做功的能力，物体所具有的重力势能越大，其做功的本领就越强。有

\[W_G= - \Delta E_{PG} \]

即重力做的功等于负的重力势能的变化量。所以重力做功会改变重力势能，具体来说：重力做正功 $\to$ 能量减少；重力做正功 $\to$ 能量增多。

一般通过此式将求重力势能的问题转化为求重力做的功。

弹性势能

定义

弹簧由于形变所具有的能量，一般用 $E_{P~弹}$ 表示，单位是焦耳 $\pu J$。其定义式为

\[E_{P~弹} = \dfrac 1 2 k {\Delta x}^2 \]

该表达式不需要记忆。

所以弹性势能与劲度系数 $k$ 和形变量 $\Delta x$ 有关。对于同一根弹簧：

形变量越大，弹性势能越大。
形变量越小，弹性势能越小。

注意：形变既不是长度，也不是位移，

弹性势能与功的关系

如图所示，物体固定在弹簧的一端移动，当物体活动端位于 $B$ 时恰好处于原长。则：

当弹簧从 $B \to A$ 移动，由于弹力水平向右，位移水平向左，所以弹力做负功，形变量变大（从无到有），弹性势能增大。
当弹簧从 $B \to C$ 移动，由于弹力水平向左，位移水平向右，所以弹力做负功，形变量变大（从无到有），弹性势能增大。
当物体从 $A \to B$ 运动，由于弹力水平向右，位移水平向右，所以弹力做正功，形变量变小（从有到无），弹性势能减小。
当物体从 $A \to C$ 运动，从 $A \to B$ 做负功，从 $B \to C$ 做正功，且 $B$ 点恰好处于原长，$AB = BC = x$，所以弹力做功总体为 $0$。

结论：

弹簧弹力做功，会改变弹性势能：

弹力做正功，弹性势能减小。
弹力做负功，弹性势能增大。
弹簧弹力做功 $W_N = - \Delta E_{P~弹}$，即弹力做功的正负与弹性势能增大/减小呈反向关系。一般通过此式将求弹性势能的问题转化为求弹力做的功。

同理重力势能，弹性势能的变化量 $\Delta E_{P~弹}$ 是末状态弹性势能 $-$ 初状态弹性势能。所以弹力做功等于负的弹性势能的变化量。

注意：对于所有的势能，都有对应力做功等于负的对应势能的变化量。

内能（热能）

定义

内能用发热量 $Q$ 表示，定义为负的一对滑动摩擦力做的总功。

对于定义的理解：

首先必须是滑动摩擦力，而不是静摩擦力。
然后是一对滑动摩擦力做的总功：一般情况下一对滑动摩擦力作用在两个物体上，假设是 $A,B$，则这里的总功即为 $A$ 对 $B$ 的摩擦力做的功加上 $B$ 对 $A$ 的摩擦力做的功，即 $W_合 = W_{A \to B} + W_{B \to A}$。

那么有

\[Q = - (W_{f_{A \to B}} + W_{f_{B \to A}}) = - f \Delta s \]

这里的 $\Delta s$ 指的是两物体 $A,B$ 相对运动的路程。

由于一对滑动摩擦力做的总功是负的（前面常见力做功的正负涉及过），那么放热量一定是正的。

注意：摩擦力做负功则放热，但是摩擦力做正功并不是吸热。

总结：

重力做功等于负的重力势能变化量。

弹力做功等于负的弹性势能变化量。

发热量（内能）等于负的一对摩擦力做的总功。

机械能守恒

机械能

定义

机械能是势能和动能的总和。

注意：势能中只包含重力势能和弹性势能，不包含电势能。

表达式：

\[E_机 = E_P + E_k \]

不同情况下的机械能

单个物体：

\[E_机 = E_{PG} + E_k \]

单个物体 + 弹簧的系统：

\[E_机 = E_{PG} + E_{P~弹} + E_k \]

多个物体：

\[E_机 = E_1 + E_2 + \cdots \]

机械能守恒的条件

本质

势能与动能的互相转化。

不同情况下机械能守恒的条件

单个物体：

即重力势能与动能的相互转化。例如：当一个物体重力做了 $\pu{10 J}$ 的功，根据 $W_G = - \Delta E_{PG}$ 可知重力势能减小了 $\pu{10 J}$，此时只有重力做功，那么 $W_合 = W_G = \Delta E_k$，所以动能增大了 $\pu{10 J}$。根据 $W_机 = E_{PG} + E_k$ 可知机械能守恒。

所以除了重力之外做的功整体为 $0$ 时机械能守恒，即重力做功不改变机械能，除了重力之外的力做功才会改变机械能。

注意：只有重力做功机械能守恒这句话并不准确。比如涉及到三个力重力 $G$，摩擦力 $f$ 以及合外力 $F$ 做功时，假设 $W_G = \pu{10 J},W_f = \pu{-5 J},W_F = \pu{5 J}$，那么此时并非只有做功，但可以分析得到机械能守恒。

单个物体 + 弹簧的系统：除了重力和系统的内力以外做的功为 $0$ 时机械能守恒。

多个物体：除了系统内各个重力，和系统内各个物体的相互作用力做功以外做的功为 $0$ 时机械能守恒。

机械能与做功的关系

除重力 $G$ 以外的力做功 $=$ 机械能的变化量。

除重力外其它力做正功，则机械能增大。
除重力外其它力做负功，则机械能减小。

总结：重力势能、弹性势能和内能与对应力做功（重力、弹力和摩擦力做功）的变化负相关，即做多少功，能量就减小多少；动能和机械能与其对应力（合外力、除重力 $G$ 之外其它的力）做功呈正相关，即做多少功，能量就增加多少。

机械能守恒的判断

一般情况下，此类题都是针对「单个物体」的情况，所以这里只以单个物体为例。

判断方法：

看除了重力是否还有其它力做功，或其它力做功之和是否为 $0$ 来判断。例如除了重力还有摩擦力做功，则机械能不守恒。
根据 $E_机 = E_{PG} + E_k$，分别考虑 $E_{PG}$ 和 $E_k$ 的变化判断。例如 $E_k = 0$，$E_{PG}$ 不断变化，则机械能不守恒。

例：在下列情况下机械能守恒的有（）

A. 在空气中匀速下落的降落伞

B. 在竖直面做匀速圆周运动的物体

C. 做自由落体运动的物体

D. 沿斜面匀速下滑的物体

分析：

对于选项 A：降落伞受力分析可知除了重力做功还有空气阻力做功，除重力外做功不为 $0$，所以机械能不守恒；或者考虑到 $E_{机} = E_{PG} + E_k$，由于物体匀速下滑（速度不变），所以 $E_k = 0$，物体下落，所以 $E_{PG}$ 减小，所以机械能减小。

对于选项 B：由于做匀速圆周运动，所以速度不变，所以动能不变；而物体在竖直平面内做匀速圆周运动，说明重力势能在改变，所以根据 $E_机 = E_{PG} + E_k$ 可知机械能不守恒。

对于选项 C：做自由落体运动的物体只有重力做功，所以机械能守恒。

对于选项 D：由 AB 分析同理，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小。

功能关系转化

知识总结

负相关功能关系：

重力势能：$W_G =- \Delta E_{PG} = -(E_{PG~末} - E_{PG~初})$。
弹性势能：$W_G = - \Delta E_{P~弹} = - (E_{P~弹末} - E_{P~弹初})$。

正相关功能关系：

动能：$W_合 = \Delta E_k = E_{k~末} - E_{k~初}$。
机械能：$W_{除~G} = \Delta E_机$。

特殊：内能：$Q =$ 负的一对摩擦力做功之和。

关键：要利用动能定理 $W_合 = \Delta E_k$ 把除了动能之外的其它能量都转化为功。

例题

例 1（弹簧 - 动能定理）：如图所示，光滑水平面 $AB$ 与竖直面内光滑的半圆形导轨在 $B$ 点衔接，导轨半径为 $R$，一个质量为 $m$ 的静止物块在 $A$ 处压缩弹簧，释放物块后再弹力作用下获得一向右速度，当它经过 $B$ 点进入导轨达到最高点 $C$ 时，对轨道的弹力大小恰好等于其重力，已知重力加速度为 $\mathrm g$，求释放物体前弹簧储存了多大的弹性势能？

分析：

由于题目告诉了 $C$ 点的受力情况（对轨道的弹力大小恰好等于其重力），那么考虑对 $C$ 点的物块受力分析有

\[2m \mathrm g = m \dfrac {v^2}{R} \implies v = \sqrt{2 \mathrm gR} \]

题目求弹性势能，考虑将其转化为弹力做功。考虑对物块选取从 $A \to C$ 的运动段分析，此时重力 $G$ 和弹力做功，那么有

\[- 2m \mathrm g R + W_弹 = \dfrac 1 2 m v^2 - 0 \implies W_弹 = 3 m \mathrm g R \]

由于当物块处于 $C$ 点时，弹簧为原厂，所以 $E_{P~弹末} = 0$，那么根据 $W_弹 = - \Delta E_{P~弹}$ 可得 $E_{P~弹初} = W_弹 = 3 m \mathrm g R$。

所以释放物块前弹簧储存了 $3 m \mathrm g R$ 的弹性势能。

例 2（机械能 - 动能定理）：一个小球从空中的 $a$ 点运动到 $b$ 点的过程中，重力做功 $\pu{5 J}$，除重力之外其它力做功 $\pu{2 J}$，则小球（）

A. 在 $a$ 点的重力势能比在 $b$ 点少 $\pu{5 J}$

B. 在 $a$ 点的动能比在 $b$ 点多 $\pu{7 J}$

C. 在 $a$ 点的机械能比在 $b$ 点少 $\pu{2 J}$

D. 在 $a$ 点的机械能比在 $b$ 点多 $\pu{2 J}$

分析：

首先对小球从 $a$ 点到 $b$ 点的运动段分析，那么根据动能定理有

\[W_G + W_{除~G} = \dfrac 1 2 m v^2 - \dfrac 1 2 m{v_0}^2 \]

那么由于重力做功 $\pu{5 J}$，所以重力势能减小 $\pu{5 J}$，所以 $a$ 点重力势能比 $b$ 点多 $\pu{5 J}$；合外力做功 $\pu{7 J}$，所以动能增大 $\pu{5 J}$，所以 $a$ 点动能比 $b$ 点少 $\pu{7 J}$；除了重力其它力做功 $\pu{2 J}$，所以机械能增大 $\pu{2 J}$，所以 $a$ 点机械能比 $b$ 点少 $\pu{2 J}$。

多物体题型

多物体机械能守恒

基础题型示例

长为 $L$ 的轻杆两端分别固定有质量为 $m$ 的小铁球，杆的三等分点 $O$ 处有光滑的水平转动轴。用手将该装置固定在杆恰好水平的位置，然后由静止释放，当杆到达竖直位置时：

求 $1$ 和 $2$ 的速度是多少？
轻杆对 $1$ 和 $2$ 做的功分别是多少？
此时杆对 $2$ 的力是多少？

分析：

对于第一问：

首先选取 $D$ 点所在平面为零势能面。

然后列出能量守恒定律表达式如下：

\[m_1 \mathrm g \cdot \dfrac 2 3 L + m_2 \mathrm g \cdot \dfrac 2 3 L = m_1 \mathrm g L + \dfrac 1 2 m_1 {v_1}^2 + \dfrac 1 2 m_2 {v_2}^2 \]

注意：

这里 $E_初$ 和 $E_末$ 都较为复杂，所以最好按照先考虑每个物体的重力势能，再考虑每个物体动能的顺序列式，保证不重不漏。

这里代入各个物体的质量和速度时，最好代入 $m_1,m_2,v_1,v_2$ 而非 $m,v$，这是为了防止后续计算出错。

然后再列出关联速度表达式，此时 $1$ 和 $2$ 都是同一个绕中心旋转的杆上的点，所以 $\omega_1 = \omega_2$，那么根据 $v = r \omega$ 可知 $v_1 = \dfrac 1 2 v_2$。将其代入上述能量守恒表达式得：

\[\dfrac 1 3 m \mathrm g L = \dfrac 1 8 m {v_2}^2 + \dfrac 1 2 m {v_2}^2 \implies v_2 = \sqrt{\dfrac 8 {15}\mathrm g L} \]

那么根据 $v_1 = \dfrac 1 2 v_2$ 可得 $v_1 = \sqrt{\dfrac 2 {15}\mathrm g L}$。

注意：这里得到的 $v_2$ 带根的结果不需要化简。

对于第二问：

题目问的是杆对物体做的功，属于单个物体的物理量，那么考虑列出单个物体的动能表达式。

那么先对 $1$ 物体从 $A \to B$ 运动段分析，此时做功的力为重力 $G$，且不知道杆是否对 $1$ 做功，那么假设杆做功了，根据动能定理有：

\[-\dfrac 1 3 m \mathrm g L + W_杆 = \dfrac 1 2 m {v_1}^2 - 0 = \dfrac 1 {15} m \mathrm g L \implies W_杆 = \dfrac 2 5 m \mathrm g L \]

同理，对 $2$ 物体从 $C \to D$ 运动段分析，此时做功的力为重力 $G$，且不知道杆是否对 $2$ 做功，假设做功，则根据动能定理有：

\[\dfrac 2 3 m \mathrm g L + W_杆 = \dfrac 1 2 m {v_2}^2 - 0 = \dfrac 4 {15} m \mathrm g L \implies W_杆 = - \dfrac 2 5 m \mathrm g L \]

总结：

当不知道某个力是否做功时，可以先假设其做功，然后列式计算求得该力做的功，如果求得功为 $0$，则说明没有做功，反之则做功。

观察发现，杆对 $1$ 和 $2$ 的做功之和恰好为 $0$，此时对于整个系统而言，只有重力做功，这验证了两物体构成的系统机械能守恒。

结论：

由于题目中说的是「轻杆」，说明其没有质量，所以该轻杆没有能量。那么它虽然可以做功，但做功得到的能量不能在其内部储存，所以它做的功必须传递到另一个物体中。所以轻杆相当于一个媒介，起到传递能量的作用。

综上所述，轻杆/轻绳总功一定为 $0$。借助此结论，当遇到类似本题的两物体题目时，若求得轻杆/绳对其中一个物体做功为 $x$，则轻杆/绳对另一个物体的做功为 $-x$。

对于第三问：

由于问的是力，所以考虑对此时 $2$ 物体受力分析有：

\[F_合 = T - m \mathrm g = m \dfrac{{v_2}^2}{r} = m \dfrac{\dfrac 8 {15} \mathrm g L}{\dfrac 2 3 L} \implies T = \dfrac 9 5 m \mathrm g \]

注意：

对于 $2$ 的运动，$r = \dfrac 2 3 L$ 而不是 $L$。

不能将第二问中轻杆做功的结论推到第三问力上，即此时轻杆对 $1$ 的力并不能直接求得是 $- \dfrac 9 5 m \mathrm g$，需要通过计算求得。

总结：

此题后两问求解时都会用到第一问的结论，实际上有些题目不一定会直接求第一问，而是直接求第二问，但是对于大题而言整体的做题步骤从第一问开始求是必要的。所以要遵循此类题目的解题步骤，这里的解题步骤在任何题目下都是通用的。

多物体动能定理

适用范围：所有的多物体题型。

解题步骤：相较于「多物体机械能守恒」除了将第 2 步的「列出能量守恒定律表达式」改为「列出整体的动能定理表达式」外，其它均无变化。

重要结论：轻杆/轻绳总功一定为 $0$。理由在上面已经说清楚，这里不做赘述。

示例：

这里以上述「多物体机械能守恒 - 基础题型示例」的第 1 问作为例题，示范「多物体动能定理」如何解题：

首先列出整体的动能定理表达式。对 $1,2$ 整体从水平到竖直的整个运动段分析，由于轻杆做功一定为 $0$，所以此时只有两物体的重力 $G_1$ 和 $G_2$ 做功，那么根据动能定理 $W_合 = \Delta E_k$ 有

\[\begin{aligned} & W_{G_1} + W_{G_2} = \Delta E_{k_1} + \Delta E_{k_2}\\ \implies & - m_1 \mathrm g \cdot \dfrac 1 3 L + m_2 \mathrm g \cdot \dfrac 2 3 L = \left(\dfrac 1 2m_1 {v_1}^2 - 0\right) + \left(\dfrac 1 2 m_2 {v_2}^2 - 0\right)\\ \implies & \dfrac 1 3 m \mathrm g L = \dfrac 1 2 m {v_1}^2 + \dfrac 1 2 m_2 {v_2}^2 \end{aligned} \]

同样根据 $v_1 = \dfrac 1 2 v_2$ 可求出 $v_1$ 和 $v_2$。

标签：pu,dfrac,物体,笔记,做功,文化课,theta,物理,mathrm
From： https://www.cnblogs.com/xrkforces/p/18178957/physics-power-and-energy

【文化课学习笔记】【物理】功与能

【物理】功与能

功

基础概念

定义

公式

计算

恒力做功计算

变力做功计算

功的正负判断

判断依据

常见力做功的正负

【经典题型】敲钉子做功的计算

功率

基础概念

定义

公式

汽车启动

额定（恒定）功率启动

恒定加速度启动

\(F - \dfrac 1 v\) 图象

动能定理

基础概念

动能

动能定理

【模型】单段运动 - 圆周

基本知识

例题

【模型】多段运动 - 直线

基本知识

例题

【模型】往返运动

【模型】链条（无法看成质点）的动能定理

解题方法

例题

摩擦力做功的特点

直线运动

曲线运动

能量

基础介绍

重力势能

定义

特征

重力势能与功的关系

弹性势能

定义

弹性势能与功的关系

内能（热能）

定义

机械能守恒

机械能

定义

不同情况下的机械能

机械能守恒的条件

本质

不同情况下机械能守恒的条件

机械能与做功的关系

机械能守恒的判断

功能关系转化

知识总结

例题

多物体题型

多物体机械能守恒

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基础题型示例

多物体动能定理

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