最基础的就不说了
1
\[\sum_{i=0}^n(C_n^i)^2=C_{2n}^n \]证明：
\(\sum_{i=0}^n(C_n^i)^2=\sum_{i=0}^nC_n^i\cdot C_n^i=\sum_{i=0}^nC_n^i\cdot C_n^{n-i}=C_{2n}^n\)
2
\[\sum_{i=0}^n(-1)^iC_n^i=[n=0] \]证明：
由二项式定理，\(((-1)+1)^n=\sum_{i=0}^nC_n^i\cdot1^{n-i}\cdot(-1)^i\)
当 \(n=0\) 时特别代入一下得原式 \(=1\)
3
\(\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}C_n^{2i}=2^{n-1}\)，特别的在 \(n=0\) 时该式 \(=1\)
证明：
由 2 以及 \(\sum_{i=0}^nC_n^i=2^n\) 容易得出
4
\[\sum_{i=0}^niC_n^i=n2^{n-1} \]证明：
\[\sum_{i=0}^niC_n^i=\sum_{i=1}^ni\cdot\dfrac{n!}{i!(n-i)!}=\sum_{i=1}^nn\cdot\dfrac{(n-1)!}{(i-1)![(n-1)-(i-1)]!}=n\cdot\sum_{i=1}^nC_{n-1}^{i-1}=n2^{n-1} \]5
\[ \sum_{i=\max(-m,-n)}^{\min(l-m,s-n)}C_l^{m+i}C_s^{n+i}=C_{l+s}^{l-m+n} \]证明：
\[ \begin{aligned} &\sum_{i=\max(-m,-n)}^{\min(l-m,s-n)}C_l^{m+i}C_s^{n+i}\\ =&\sum_{i=\max(-m,-n)}^{\min(l-m,s-n)}C_l^{l-m-i}C_s^{n+i}\\ =&C_{l+s}^{l-m+n} \end{aligned} \]观察第二个式子：发现 Sigma 的条件实际上是在限制两个组合数不为 \(0\)，放大条件不影响答案，故可以直接放大条件，然后运用范德蒙德卷积式.
6
\[ C_r^mC_m^k=C_r^kC_{r-k}^{m-k} \]证明：
考虑组合意义：从 \(r\) 里面拿出 \(m\) 个，再从 \(m\) 个里面拿出 \(k\) 个，相当于从 \(r\) 里面先拿出 \(k\) 个，再拿出 \(m-k\) 个.
7
\[\sum_{i=l}^rC_{n+i}^i=C_{n+r+1}^{n+1}-C_{n+l}^{n+1} \]证明：
原式 \(=\sum_{i=l}^rC_{n+i}^n\)
相当于杨辉三角中的同一列一段连续区间的和
而 \(C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m\)
故 \(C_{n+r+1}^{n+1}=C_{n+r}^n+C_{n+r}^{n+1}=C_{n+r}^n+C_{n+r-1}^n+C_{n+r-1}^{n+1}=C_{n+r}^n+C_{n+r-1}^n+C_{n+r-2}^n+C_{n+r-2}^{n+1}=\cdots=C_{n+l}^{n+1}+\sum_{i=l}^rC_{n+i}^n\)
故原式 \(=C_{n+r+1}^{n+1}-C_{n+l}^{n+1}\)
8
\[ (a+b+c)^n=\sum_{i+j+k=n}\dfrac{n!a^ib^jc^k}{i!j!k!} \]证明：直接展开即可
你会得到以下式子：
\(\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iC_n^iC_i^ja^jb^{i-j}c^{n-i}\)
变换一下变量即可
9
\[ \sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}C_{n-i}^i=f_n \]其中 \(f_n\) 表示斐波那契数列的第 \(n\) 项。
证明：
归纳法：\(n=1\) 时原式 \(=1=f_1\)，\(n=2\) 时原式 \(=2=f_2\)；
由 \(C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m\)，
\(n>2\) 时原式 \(=\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}C_{n-i-1}^{i-1}+\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}C_{n-i-1}^i=\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n-2}2\right\rfloor}C_{n-2-i}^i+\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}2\right\rfloor}C_{n-1-i}^i=f_{n-2}+f_{n-1}=f_n\).
10
设 \(n\le m\)，有
\[ \sum_{i=0}^niC_n^iC_m^i=n\cdot C_{n+m-1}^n \]证明：
\[ \begin{aligned} &\sum_{i=0}^niC_n^iC_m^i\\ =&\sum_{i=0}^ni\cdot\dfrac{n!}{i!(n-i)!}\cdot C_m^i\\ =&\sum_{i=0}^nn\cdot\dfrac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}\cdot C_m^i\\ =&\ n\cdot\sum_{i=0}^nC_{n-1}^{n-i}C_m^i\\ =&\ n\cdot C_{n+m-1}^n \end{aligned} \]11
\[ \sum_{k=\max(-m,n-s)}^{l-m}(-1)^kC_l^{m+k}C_{s+k}^n=(-1)^{l+m}C_{s-m}^{n-l} \]证明：
\[ \begin{aligned} &\sum_{k=\max(-m,n-s)}^{l-m}(-1)^kC_l^{m+k}C_{s+k}^n\\ =&\sum_{k=-m}^{l-m}(-1)^kC_l^{m+k}C_{s+k}^n\\ =&\sum_{k=-m}^{l-m}(-1)^kC_l^{m+k}\sum_{i=0}^nC_{s-m}^iC_{m+k}^{n-i}\\ =&\sum_{i=0}^nC_{s-m}^{n-i}\sum_{k=-m}^{l-m}(-1)^kC_l^{m+k}C_{m+k}^i\\ =&\sum_{i=0}^nC_{s-m}^{n-i}\sum_{k=-m}^{l-m}(-1)^kC_l^iC_{l-i}^{m+k-i}\\ =&\sum_{i=0}^nC_{s-m}^{n-i}C_l^i\sum_{k=i-m}^{l-m}(-1)^kC_{l-i}^{m-i+k}\\ =&\ C_{s-m}^{n-l}(-1)^{l-m}C_0^0\\ =&\ (-1)^{l+m}C_{s-m}^{n-l} \end{aligned} \]这里也几次用到了范围的放缩.
12
\[ \sum_{i=1}^n\dfrac{(-1)^i}iC_{n-1}^{i-1}=-\dfrac1n \]证明：
\[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\dfrac{(-1)^i}iC_{n-1}^{i-1}\\ =&\sum_{i=1}^n\dfrac{(-1)^i}i\dfrac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}\\ =&\sum_{i=1}^n\dfrac{(-1)^i}n\dfrac{n!}{i!(n-i)!}\\ =&\ \dfrac1n\sum_{i=1}^n(-1)^iC_n^i\\ =&\ -\dfrac{C_n^0}n\\ =&\ -\dfrac1n \end{aligned} \]13
\[ \sum_{i=0}^m(-1)^i(n-i+1)C_{n-i}^{m-i}=(n-m+1)\sum_{i=0}^{n-m+1}\dfrac{(-1)^i}{2^{i+1}}C_{n+2}^{n-m+1-i} \]证明：
\(\sum_{i=0}^m(-1)^i(n-i+1)C_{n-i}^{m-i}=(n-m+1)\sum_{i=0}^m(-1)^iC_{n-i+1}^{m-i}\)
故即证 \(\sum_{i=0}^m(-1)^iC_{n-i+1}^{m-i}=\sum_{i=0}^{n-m+1}\dfrac{(-1)^i}{2^{i+1}}C_{n+2}^{n-m+1-i}\)
\[ \begin{aligned} &\sum_{i=0}^m(-1)^iC_{n-i+1}^{m-i}\\ =&\sum_{i\in[0..m]\land i\bmod2=0}C_{n-i+1}^{n-m+1}-\sum_{i\in[0..m]\land i\bmod2=1}C_{n-i+1}^{n-m+1}\\ =&\sum_{i\in[0..m]\land i\bmod2=0}\left(C_{n-i}^{n-m}+C_{n-i}^{n-m+1}\right)-\sum_{i\in[0..m]\land i\bmod2=1}C_{n-i+1}^{n-m+1}\\ =&\sum_{i\in[0..m]\land i\bmod2=0}C_{n-i}^{n-m} \end{aligned} \]设 \(f(n,m)=\sum_{i\in[0..m]\land i\bmod2=0}C_{n-i}^{n-m}\)
\[ \begin{aligned} f(n,m)&=\dfrac12\sum_{i\in[0..m]\land i\bmod2=0}\left(C_{n-i-1}^{n-m-1}+C_{n-i-1}^{n-m}\right)+C_{n-i}^{n-m}\\ &=\dfrac12\left(\sum_{i\in[0..m]}C_{n-i}^{n-m}+\sum_{i\in[0..m]\land i\bmod2=0}C_{n-i-1}^{n-m-1}\right)\\ &=\dfrac12\left(C_{n+1}^{n-m+1}+\sum_{i\in[0..m]\land i\bmod2=0}C_{n-1-i}^{n-1-m}\right)\\ &=\dfrac12\left(C_{n+1}^{n-m+1}+f(n-1,m)\right) \end{aligned} \]因为 \(f(n,n)=\sum_{i\in[0..n]\land i\bmod2=0}C_{n-i}^0=1+\left\lfloor\dfrac n2\right\rfloor\)
故 \(f(n,m)=\sum_{i=0}^{n-m+1}\dfrac1{2^{i+1}}C_{n+1}^{n-m+1-i}=\sum_{i=0}^{n-m+1}\dfrac{(-1)^i}{2^{i+1}}C_{n+2}^{n-m+1-i}\)
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