高等代数(II)

标签：dots 高等 重根 sum II Delta 判别式 代数 sigma

判别式

引入

对于一元二次方程 \(ax^2+bx+c\) 有判别式 \(\Delta=b^2-4ac\)

如果：

• \(\Delta=0\) 有重根
• \(\Delta>0\) 有两个不同实根
• \(\Delta<0\) 有两个不同复根

对于 \(f(x)=a_nx^n+\dots+a_0\)，不妨设 \(a_n=1\)，希望构造 \(\Delta(a_n,\dots,a_0)\) 满足：\(\Delta=0\Leftrightarrow\) 重根。

内容

设 \(f(x)\) 的复根为 \(x_1,x_2,\dots,x_n\)，有

\[f(x)=\prod_{i=1}^n (x-x_i)=\sum_{i=0}^n(-1)^k\sigma_kx^{n-k} \]

其中

\[\sigma_k=\sum_{1\le i_1<i_2<\dots<i_k\le n}x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_k} \]

令

\[\Delta=\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2 \]

而我们希望通过 \(a_n,\dots,a_1\) 表示出 \(\Delta\)。

而 \(a_k=(-1)^{n-k}\sigma_{n-k}\)，即我们要找一个通过 \(\sigma_1,\dots,\sigma_n\) 表示出 \(\Delta\) 的方法。

注意到 \(\Delta(x_1,\dots,x_n)\) 是对称 \(n\) 元多项式，可以表示为 \(g(\sigma_1,\dots,\sigma_n)\)。

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