反问题：积分方程法
Date: 2024/03/18
Reference : Colton, D. & Kress, R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. vol. 93 (Springer International Publishing, Cham, 2019). p145-p149
此算法仅适用于二维，无直接的三维推广。
一、思路来源
此算法仅适用于求解二维反阻抗问题：
\[\begin{cases} \Delta u + k^2 u = 0, & x\in D \\ \frac{\part u}{\part \nu} + ik\left( \lambda u-\frac{d}{ds}\mu \frac{du}{ds} \right)=0, & x \in \part D \end{cases} \tag{1} \]反问题存在性已知，唯一性有如下定理：
Theorem 5.7 For scattering with a generalized impedance boundary condition in two dimensions, given the shape \(\part D\), the far field patterns corresponding to three incident plane waves \(u_1^i,u_2^i,u_3^i\) with different incident directions and the same wave number uniquely determine the impedance functions \(\lambda\) and \(\mu\).
即已知 \(\part D\) 和三个同波数但不同方向的入射波的远场模式，可以唯一确定的反演出阻抗函数 \(\lambda,\mu\)。本文整理的算法来自于上述唯一性定理的证明，证明的核心思路如下：
首先证明定理中 \(u_1^i,u_2^i,u_3^i\) 形成的全波 \(u_1,u_2,u_3\) 在边界 \(\part D\) 上是线性无关的
由线性无关性得任一Wronskians行列式在边界非0：\(W(u_j,u_l) = u_j \frac{du_l}{ds}-u_l \frac{du_j}{ds} \ne 0\)。
利用阻抗边界构做如下方程：
\[ik\frac{d}{ds}\mu \left( u_1 \frac{du_2}{ds}-u_2\frac{du_1}{ds} \right) = u_1 \frac{\part u_2}{\part \nu}-u_2\frac{\part u_1}{\part \nu}, \quad x\in \part D \tag{2} \]由 \(u_1,u_2,u_3\) 在边界线性无关得 \(\mu\) 至少应由三个远场唯一确定
由此想到利用方程 \((2)\) 反演 \(\mu\)，这需要得到全场 \(u_1,u_2,u_3\) 的 \(Dirchlet\) 和 \(Neumann\) 条件。因此实际只需要求解出散射场 \(u_1^s,u_2^s,u_3^s\) 即可。
二、算法过程
1. 解散射场的核
将 \(u_1^s,u_2^s,u_3^s\) 分别表示为 \(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3\) 的单层势，即：
\[u_k^s = S\varphi_k , \quad k=1,2,3 \tag{3} \]则对应的远场模式 \(u_{\infty, k}\) 同 \(\varphi_k\) 应满足如下的积分方程(仅二维下成立, 三维形式不同)：
\[u_{\infty,k}(\hat{x}) = S_{\infty} \varphi_k = \frac{e^{i\pi/4}}{\sqrt{8\pi k}} \int_{\part D} e^{-ik \hat{x}\cdot y} \varphi(y) ds(y), \quad \hat{x} \in \mathbb{S}^1 \tag{4} \]利用 \(Tikhonov\) 正则化求解三个积分方程 \((4)\)，可以得到 \(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3\).
2. 解全场的边界条件
利用跳跃关系，在已知 \(u_k^s = S\varphi_k ,x\in D\) 的条件下可得全场的边界条件：
\[u|_{\part D} = u^i|_{\part D} + \frac{1}{2}S\varphi \\ \frac{\part u}{ \part \nu} \bigg|_{\part D} = \frac{\part u^i}{ \part \nu} \bigg|_{\part D} + \frac{1}{2}K'\varphi - \frac{1}{2}\varphi \tag{5} \]在参考书3.6节有数值近似的办法计算 \((5)\) 中的积分。
3. 反演 \(\mu\)
由 \((5)\) 的计算结果，将方程 \((2)\) 两端从 \(x_0\in \part D\) 到 \(x\in \part D\) 积分，得：
\[ik\mu W(u_1,u_2) = \int \left\{ u_1 \frac{\part u_2}{\part \nu}-u_2\frac{\part u_1}{\part \nu} \right\} dx+C_{12} , \ x \in \part D\\ ik\mu W(u_2,u_3) = \int \left\{ u_2 \frac{\part u_3}{\part \nu}-u_3\frac{\part u_2}{\part \nu} \right\} dx+C_{23} , \ x \in \part D\\ ik\mu W(u_1,u_3) = \int \left\{ u_1 \frac{\part u_3}{\part \nu}-u_3\frac{\part u_1}{\part \nu} \right\} dx+C_{13}, \ x \in \part D \tag{6} \]要计算 \((6)\) 式，右边是已经得到的全场的边界条件，左边是一个Wronskians行列式，其中涉及到 \(\frac{du}{ds}|_{\part D}\) 的计算，可以使用trigonometric differentiation方法。
最后将 \(\mu\) 用 \(J\) 阶傅里叶级数表示 (\(2J+1\) 个参数)，\((6)\) 中每一个方程离散为 \(2n\) 个方程，共 \(6n\) 个方程解 \(2J+1\) 个未知数，当然还有三个未知常数 \(C_{ij}\)。使用最小二乘求解即可。
4. 反演 \(\lambda\)
利用 \((1)\) 中的阻抗边界条件，在已知 \(\mu_{approx}\) 的条件下同样利用 \(J\) 阶傅里叶级数参数化 \(\lambda\)，离散为 \(6n\) 个方程，使用最小二乘求解。
\[\lambda = a_0+\sum_{k=1}^J \left[ a_k \sin (kx) +b_k \cos(kx) \right] \]三、数值结果
文中给了一个简易的数值实验结果：
