第一章 命题逻辑的基本概念

命题与联结词

命题

命题: 非真即假的陈述句

真值: 命题的判断结果, 取值为真或假

简单命题(原子命题): 不能再拆分的命题

复合命题: 简单命题通过联结词联结而成的命题

联结词

否定联结词 (\(\neg\)) : 当且仅当\(p\)为假时,\(\neg p\)为真

合取联结词 (\(\land\)) : 意为"p并且q", 当且仅当p与q同时为真时, \(p\land q\)为真

析取联结词 (\(\lor\)) : 意为"或", 当p与q至少有一个为真时, \(p\lor q\)为真, 当且仅当p与q同时为假时, \(p\lor q\)为假

蕴含联结词 (\(\rightarrow\)) :
意为"如果p, 则q", 箭头左边称为前件, 箭头右边称为后件
当p为真时, \(p\rightarrow q\)与q同真假, 当p为假时, 不论q的真假, \(p\rightarrow q\)都为假, 这里与自然语言里的"如果...则..."并不一致

等价联结词 (\(\leftrightarrow\)) : 当且仅当p与q同真假时, \(p\leftrightarrow q\)为真

命题公式及其赋值

定义

命题常项(命题常元): 即简单命题, 其真值是确定的

命题变项(命题变元): 真值可以变化的陈述句, 命题变项不是命题

合式公式: 将命题常项和命题变项用圆括号和联结词联结起来的符号串

• 单个命题变项和命题常项是合式公式, 成为原子命题公式
• 若A是合式公式, 则(\(\neg\)A)是合式公式
• 若A、B是合式公式, 则(\(A\land B\))、(\(A\lor B\))、(\(A\rightarrow B\))、(\(A\leftrightarrow B\))为合式公式
• 有限次地运用上面两条法则组成的符号串也是合式公式(合式公式通过联结词组合也是合式公式)

元语言符号: 通过A、B等符号表示合式公式的语言

对象语言符号: 通过p、q等具体命题项表示的公式

公式的层次定义

1. 若公式A是单个命题变项或常项，则A为0层公式
2. 当A= \(\neg\)B, B是n层公式时, A为n+1层公式
3. 当A=B (\(\land\) / \(\lor\) / \(\rightarrow\) / \(\leftrightarrow\)) C, B、C分别为i、j层公式, 且n=max(i, j)时, A为n+1层公式

公式的赋值: 给命题公式中的全部命题变项各指定一个真值。若指定的一组值使A为真, 则称这个赋值为A的成真赋值, 反之为A的成假赋值

赋值的表示: 例如对\(p_1, p_2, ..., p_n\)赋值为\(α_1, α_2, ..., α_n(α_i为0或1)\), 可以表示为\(α_1α_2α_3...α_n\), 即\(000101110...\)这样的形式

真值表: 将公式A在所有赋值下的取值情况列成表