第一章 命题逻辑
真值
"地球是行星"这句话（命题）是正确的，我们称它的真值为真，通常记作T或者1；这句话也被称作真命题。
"2是无理数"这句话（命题）是错误的的，我们称它的真值为假，通常记作F或者0；这句话也被称作假命题。
1.命题的真值一定是唯一的；如果一句话不确定真假或者有时候真有时候假，那这句话都能称作命题。
2.悖论不是命题。
例如：“我正在说谎”就是悖论，它不是命题，本课程中不研究悖论。
命题的符号化
表示命题的符号称为“命题标识符”。
命题符号化就是用符号代替命题本身的过程。
例如：将以下命题符号化,并写出他们的真值：
(1)是有理数
(2)所有素数都是奇数
(3)6是一个合数
解：(1) P：是有理数 真值：F
(2) Q：所有素数都是奇数 真值：F (# 2是素数但是它是偶数)
(3) R：6是一个合数 真值：T
原子命题与复合命题
不能再分解的命题叫"原子命题"或"简单命题"。
由多个原子命题组合而成的命题称为"复合命题"。
联接词(逻辑运算符)
非（取反\lnot）
P | |
T | F |
F | T |
合取(并且、
)
P | Q | |
T | T | T |
T | F | F |
F | T | F |
F | F | F |
析取（
或者；特别注意：如果P和Q本身就是矛盾的则它们不能构成析取关系）
P | Q | |
T | T | T |
T | F | T |
F | T | T |
F | F | F |
同或（XNOR；相同为真，不同为假）
==不重要，了解即可==
P | Q | |
T | T | T |
T | F | F |
F | T | F |
F | F | T |
异或（XOR；相同为假，不同为真，XOR ⊕）
P | Q | |
T | T | F |
T | F | T |
F | T | T |
F | F | F |
单条件（
前件为真，后件为假才为假；否则，全部是真；注意：P和Q可以没有任何实际的逻辑关系存在）
P | Q |
|
T | T | T |
T | F | F |
F | T | T |
F | F | T |
双条件(
互为充要条件；与同或的结果是一致的)
P | Q | |
T | T | T |
T | F | F |
F | T | F |
F | F | T |
运算优先级：
p↔q ≡ ┐(p⊕q)，所以 p⊕q ≡ ┐(p↔q)。当遇到异或（⊕）的时候把它转换成┐(p↔q)的形式再根据优先级运算.
蕴涵（
它不是连接词哦）
常见的蕴涵式：
等价（
它不是连接词哦；⇔和↔ 的区别：前者是元语言符号，后者是等价联结词）
当两个复合命题总有相同的真值时，无论其命题变量的真值是什么，我们称它们是等价的。
或非 NOR ↓
与非 NAND ↑
联接词的归纳
否定 | 合取 | 析取 | 单条件 | 双条件 |
非P | 即P又Q | P或者Q | 如果P，则Q | 如果P，则Q；且如果Q，则P。 |
不但P而且Q | P与Q不能互斥；互斥的PQ不能构成析取。 | P为真时，Q也为真；结果才为真 | 只有P真且Q真，或者P假Q也假的情况下；结果才为真。 | |
两者均为真才真（注意主语中的并列关系并不是合取：例如：我和张三是同学；这里并不是合取关系） | 任一为真就真 | P若为假，Q无论真假；结果都是真P和Q可能并没有实际意义的关系 | 互为充要条件；等价于 |
运算优先级：
逻辑运算的规律
常见的蕴涵式：
运算律 | 表达式 | 说明 |
双重否定律 | 双重否定等价于肯定 | |
幂等律 | 自己与自己的合区或者析取都还是自身 | |
结合律 | 注意：只有同一种运算符 | |
交换律 | ||
分配律 | ||
吸收律 | ||
德摩根律 | 非常地重要，经常会用到 | |
同一律 | 一边已经固定的情况下另一边对结果的影响 | |
零律 | 一边已经固定的情况下另一边对结果的影响 | |
排中律 | ||
否定律 | ||
蕴涵等值式 |
| 非常地重要，经常会用到 |
等价等值式 |
| 双条件的定义：有且仅有，互为前提和结果 |
假言易位 | 反向推断 | |
等价否定等值式 | 反向推断 | |
归谬论 |
一个重要的等价式：
可以使用真值表进行验证。
推理定律
公式 | 定律 | 说明 |
| 化简律 | P与Q的合区成立；那么蕴涵着P和Q必定成立。反之亦成立。 |
附加律 | 若P或Q成立，那么蕴涵着P或Q析取上另一个命题也必然成立。反之亦成立。 | |
变形附加律 |
| |
变形附加律 | 当Q为真时，P为真或者P为假； | |
变形简化律 |
| |
假言推理 | 左边式是一个合取式；合取式想要成立则P与 | |
拒取式 | 左边式想要成立必然 | |
析取三段式 | 左式的外层是合取式，若想左式为真，因此 | |
条件三段论 | 很著名，也很重要，也很符合人类的一贯思维。P能推出Q，而且Q能推出R；那也一定有P可以推出R。 | |
等价三短段 | 这个应该是最好理解的。 | |
合取构造二难 | P发生则Q一定发生，R发生则S发生；此时P和R都发生了；那么一定有Q和S都发生。 | |
析取构造二难 | 父亲对他那喜欢到处游说的儿子说，“你不要到处游说。如果你说真话，那么富人恨你；如果你说假话，那么穷人恨你。既然游说只会招致大家恨你，你又何苦为之呢?”在这里，父亲劝儿子就使用了一个二难推理，形式是：如果你说真话，那么富人恨你；如果你说假话，那么穷人恨你；或者你说真话，或者你说假话；总之，有人恨你。 | |
前后件附加 | 真值表可以很明显得出 | |
前后件附加 | 真值表可以很明显得出 |
连接词完备集
给定一个联结词集合，如果所有命题公式都能用其中的联结词等价表示出来，则称该联结词集合为全功能联结词集合，或称该联结词集合为功能完备的
对于二元运算符，它作用于两个命题变元，一个命题变元只有 T , F 两个值，则可能的运算结果就只有 = 16 种：
P | Q | ||||||||||||||||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
根据我们可以捋一捋，分别代表哪些连接池
到目前为止我们一共定义了9个连接词
比如 含有这些联结词的命题公式，可以用含有另外一些联结词的命题公式等价表示。
单条件可以使用\lnot和\vee代替
同或、双条件↔ 可由 → ,∧ 表示
表示
因此，所有命题公式都可用表示。
更进一步，由德摩根定律知，可以互相表示。所以任意命题公式都可由仅含有 { ¬ , ∨ } 或 { ¬ , ∧ } 的命题公式来等价表示。
即：
因此，{ ¬ , ∨ , ∧ } 、{ ¬ , ∨ } 、{ ¬ , ∧ } 、{ ¬ , ∨ ，……} 、{ ¬ , ∧，…… } 都是全功能联结词集合； {↛,¬}、{ ¬ , → } 、{ ↑ } 、{ ↓ } 也是
一个联结词集合是全功能的，并且去掉其中任意一个联结词后均不是全功能的，则称其为极小全功能联结词集
{ ¬ , ∨ } 或 { ¬ , ∧ }、{↓}、{↑}都是最小连接词完备集 。
