计算题1：
假设 \(p\) 表示“我喜欢数学”，\(q\) 表示“我会编程”，\(r\) 表示“我喜欢阅读”，\(s\) 表示“我会游泳”。现有如下命题：
(1) 如果我不喜欢数学，那么我一定不会编程；
(2) 如果我会编程，那么我要么喜欢阅读，要么会游泳；
(3) 我不会游泳且不喜欢阅读。
回答：
- 将以上命题翻译成命题公式，并给出联结词的逻辑意义。
- 构造以上命题的真值表，并判断其是否为重言式。
- 判断以下命题是否为重言式：\((p\land q)\to (p\lor r)\)
- 将命题 \((p\land q)\to (p\lor r)\) 转化成主合取范式和主析取范式。
- 使用推理法证明：如果我喜欢数学，则我要么喜欢阅读，要么会编程。
- 请列举至少两个命题逻辑的应用示例。
计算题2：
给定集合\(A=\{1,2,3\}\)和\(B=\{x,y,z\}\)，定义关系\(R_1=\{(1,x),(2,z),(3,y)\}\)，\(R_2=\{(x,2),(y,3),(z,1)\}\)。
- 将\(R_1\)和\(R_2\)的矩阵表示写出。
- 求\(R_1\)和\(R_2\)的复合关系\(R_1\circ R_2\)。
- 求\(R_1\)和\(R_2\)的自反闭包、对称闭包和传递闭包。
- 将\(R_1\)和\(R_2\)所在的关系矩阵分别进行划分，得到划分\(\Pi_{R_1}=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\)和\(\Pi_{R_2}=\{\{x,z\},\{y\},\{2\}\}\)。求\(R_1\)和\(R_2\)的最小等价关系，并给出等价类划分。
- 假设\(A'\)和\(B'\)是\(A\)和\(B\)的两个不相交非空子集，定义\(R_3\)为\(A'\times B'\)上的偏序关系，即\((a,b)\ R_3\ (a',b')\)当且仅当\(a<a'\)且\(b<b'\)成立。求\(R_3\)的反链和最长反链长度。
- 定义\(A\times B\)上的关系\(R_4\)和\(R_5\)分别为\((a,b)\ R_4\ (a',b')\)当且仅当\(a+a'\equiv 1\pmod 3\)，\((a,b)\ R_5\ (a',b')\)当且仅当\(b-b'\equiv 0\pmod 3\)。求关系\(R_4\)与\(R_5\)的笛卡尔积\(R_4\times R_5\)的关系矩阵。
提示：\(\pmod 3\)下的余数有\(0,1,2\)三个，可以将集合\(A\)和\(B\)分别映射到\(0,1,2\)三个数上。