七、(10分) 设$V$是$n$阶实矩阵全体构成的实线性空间, $A$是$n$阶正定实对称阵.对任意的$X,Y\inV$,定义二元函数$(X,Y)=\mathrm{tr}(XAY')$.(1)求证:$(-,-)$是$V$上的一个内积.(2)在上述内积下,$V$成为一个欧氏空间. 设$P,Q\inV$,$V$上的线性算子$

一节课也没上过的摆子开始水学分了（bushi）挑个别我不太熟悉的东西写一下，大部分都是学oi时候就会了的。2.1.3顶点与边的连通度对于连通图\(G\)，定义点连通度为最少需要删去多少点才能使其不连通，边连通度为最少需要删去多少边才能使其不连通。分别记作\(\kappa(G),\lambda(G)\)

概念1.经过图中所有边恰好一次的通路称为欧拉通路或欧拉路(起点终点可以不一致)2.经过图中所有边恰好一次的回路称为欧拉回路(起点终点一致)3.判别方法:对于无向图G,G中存在欧拉回路当且仅当G中所有度非0的点是连通的且没有奇数度数的点对于无向图G,G中存在欧拉路当且仅当G中

第一章设实系数方程\(x^3+ax^2+bx+c=0\)的三个根\(x_1,x_2,x_3\)满足\[(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2<0,\]此方程共有多少个实根?解方程\(x^4+x^3+x^2+x+1=0\)(提示:先看\(y=x+x^{-1}\)满足的二次方程).设\(f\)是非空集\(X\)到集合\(Y\)中的映射,证明\(f\)是

以下我们都考虑这样一种游戏：两个人，轮流进行；游戏总是在有限步内结束；同一个状态不可能多次抵达，且没有平局；每个时刻的合法决策集合仅与当前局面有关，而与游戏者无关；不能操作者输。我们定义：必败态：无论如何先手必败的状态（局面）。必胜态：先手存在必胜策略的状态（局面）。

题意一共有\(n\)个物品，每个物品有\(m\)种种类。每个物品的每个种类的代价为\(a_{i,j}\)选择一种种类需要先支付\(b_i\)的代价。\(n\le1e5,m\le25\)求最小的代价使得能够选择\(n\)种物品。Sol考场上竟然没做出来。。。冲到最后20min交了发模拟退火。。。集

原题链接题解每张截图除了第一个人，其余人均按相对位置排序这道题就变成了给定若干个相对位置，求是否存在可能的绝对位置我们可以建图，作拓扑排序，一个节点能被遍历到当且仅当其所有的父节点都被遍历到当且仅当出现环时，答案为NOcode#include<bits/stdc++.h>usingnamespacest

[link](https://loj.ac/p/4092)考虑单次询问怎么做。不难发现这是一个二分图匹配，左部点$i$可以匹配到右部点$j$当且仅当$A_i\geB_j\andi\neqj$。不妨设$B$递增，这当然可以通过排序实现。什么时候不存在完美匹配呢？就是存在左部点$i$，$i$只能匹配到右部点$[1,i-1]$（也

我永远喜欢数据结构神仙\(\color{maroon}*3400\)字符串题。感觉现有的一篇SA题解讲的不太清楚，来一篇更加清楚、严谨的SA题解。洛谷CF给出\(n\)个字符串\(s_1\sims_n\)，求有多少对\((i,j)\)，满足：\(1\lei,j\len\)。\(s_j\)是\(s_i\)的真子串。不存在\(k\)

这里是被说烂了的随机化线性做法。相信大家都已经做过QOJ6504，因此我们考虑采用类似的办法通过此题。我们对每个字符随机一个\(k\timesk\)的矩阵，并求出其矩阵的逆。然后，我们在偶数位放原矩阵，在奇数位放逆矩阵，这样，一段区间合法当且仅当这段区间的矩阵积为单位矩阵\(I\)，原因

计算题1：假设\(p\)表示“我喜欢数学”，\(q\)表示“我会编程”，\(r\)表示“我喜欢阅读”，\(s\)表示“我会游泳”。现有如下命题：(1)如果我不喜欢数学，那么我一定不会编程；(2)如果我会编程，那么我要么喜欢阅读，要么会游泳；(3)我不会游泳且不喜欢阅读。回答：将以上命题翻译成命题

20232023.122023.12.25G2.LightBulbs(HardVersion)若干个区间的极小并，当且仅当这个区间包含了所有区间，当且仅当每个区间的左右点出现了一次，相当于某个标号恰好出现两次，可以用随机数来异或。因数个数小trick\[d(n)\%2=[n=k^2]\]当且仅当该数是完全平方数时，因数个数是奇

题目链接如果把方向看做有向边，整个图是一个内向基环树。所以考虑哪些点有可能放在基环树的非环部分上，当且仅当一个点周围有严格小于他的点。由于图一定是二分图（黑白染色），没有奇环，所有偶环一定可以拆成二元环，所以可以看做找匹配。两个点能匹配当且仅当他们\(s\)相等。发现一个

题意：思路：先考虑不带修：如果长度为$n$的序列$a$中无$1$，当且仅当$2\les\lesum(1，n)$时，一定有解；否则，一定无解。通过$set$维护序列$a$中每个$1$的位置，找到最靠左的$1$的位置$l$以及最靠右的$1$的位置$r$。对于区间$[l，n]$，由

 这个作业属于哪个课程https://edu.cnblogs.com/campus/besti/2023-2024-1-CFAP/这个作业要求在哪里https://www.cnblogs.com/rocedu/p/9577842.html#JXJC这个作业目标是什么本周学习计算机科学概论第7章和《C语言程序设计》第5章的相关内容，并对两本教材进行总结

OI-wikiLink定义欧拉回路：经过每条边恰好一次后回到起点的路径。欧拉通路：经过每条边恰好一次后没有回到起点的路径。欧拉图：具有欧拉回路的图。半欧拉图：不具有欧拉回路但具有欧拉通路的图。判别如果图不连通，必然不是欧拉/半欧拉图。无向图为欧拉图，当且仅当：所有点的度数都

拜谢陈老师的PPT！！！无向图割点若点\(x\)不为搜索树的根节点，则\(x\)是割点当且仅当搜索树上存在一个\(x\)的子节点\(y\)满足：\(dfn_x\lelow_y\)。特别地，当\(x\)是搜索树的根节点时，则\(x\)是割点当且仅当有两个点\(y_1,y_2\)满足上述条件。割边边\((x,y)\)是

定理  当且仅当且. 

重要的不等关系：\(e^x\geqslantx+1\)[从数的角度刻画]，对应的形的角度的刻画：那么对上述的结论如何做严格的证明呢？证明思路：【法1】数形结合验证法[有失严谨，但直观好记忆]，令\(f(x)=e^x\)，\(g(x)=x+1\)，在同一个坐标系中作出这两个函数的图像如上，由图像可知，\(e^x\geqslantx+1

0811T1计数练习题意作为一名普及组选手，小\(A\)喜欢数数。一天，小\(A\)学习了排列相关的知识。定义一个长度为\(n\)的序列\(p_{1...n}\)是一个\(n\)阶排列，当且仅当\(p_{1...n}\)都是\([1,n]\)中的正整数且它们两两不同。小\(A\)想数排列。为了让数排列更有趣，

给定一个数组\(a\)，同时给定一个操作：选取一个数字\(i\)，如果\(\gcd(a_i,i)=1\)，我们就可以将当前的第\(i\)位上的数字\(a_i\)移除掉，而后面的数字会以此补上空缺。定义一个序列\(b\)为一个“移除序列”，当且仅当我们可以通过依次选取\(b_1\)到\(b_n\)进行上面所说的操

题面传送门感觉，非常高妙的随机化！考虑怎么判定一个序列合法，将每种颜色的奇数位置看成左括号，偶数位置看成右括号，则一个序列合法当且仅当其括号序列合法。现在带修，我们维护的东西需要满足如下性质：可逆：将相邻奇数位的信息和偶数位的信息合并需要等于单位元。有结合律：不然没有办

题意假设有一张\(n\)阶完全图，每条边有一个颜色，那么叫它有色图。定义两个有色图本质相同，当且仅当存在一种点的置换，使得置换以后两张图每条边颜色对应相同。计数若颜色有\(m\)种，有多少本质不同的\(n\)阶有色图。数据范围：\(1\len\le53,1\lem\le1000\)。题解Polya定理

矩阵可逆性说明A可逆当且仅当A的行列式不等于0\[|A|\neq0\]A可逆当且仅当A的特征值不等于0\[\lambda\neq0\]A可逆当且仅当\(Ax=0\)只有零解正

1.3-SUM1.1问题描述Giventhreesets\(X\),\(Y\),and$Z$of\(n\)integerseach,determinewhetherthereisatriple\(i\inX,j\inY,k\inZ\)suchth