七、(10分) 设 $V$ 是 $n$ 阶实矩阵全体构成的实线性空间, $A$ 是 $n$ 阶正定实对称阵. 对任意的 $X,Y\in V$, 定义二元函数 $(X,Y)=\mathrm{tr}(XAY')$.
(1) 求证: $(-,-)$ 是 $V$ 上的一个内积.
(2) 在上述内积下, $V$ 成为一个欧氏空间. 设 $P,Q\in V$, $V$ 上的线性算子 $\varphi$ 定义为 $\varphi(X)=PXQ$, 求 $\varphi$ 的伴随算子.
(3) 求上述线性算子 $\varphi$ 是正交算子的充要条件.
证明 本题是高代白皮书例 9.29 的轻微推广 (矩阵的 Frobenius 内积即为 $A=I_n$ 的特例), 也与 2022 级高代 II 每周一题第 14 题密切相关.
(1.1) 对称性 利用矩阵迹的对称性:
$$(Y,X)=\mathrm{tr}(YAX')=\mathrm{tr}\big((YAX')'\big)=\mathrm{tr}(XA'Y')=\mathrm{tr}(XAY')=(X,Y).$$
(1.2) 第一变量的线性 利用矩阵迹的线性:
$$(c_1X_1+c_2X_2,Y)=\mathrm{tr}\big((c_1X_1+c_2X_2)AY'\big)=\mathrm{tr}(c_1X_1AY')+\mathrm{tr}(c_2X_2AY')=c_1\mathrm{tr}(X_1AY')+c_2\mathrm{tr}(X_2AY')=c_1(X_1,Y)+c_2(X_2,Y).$$
(1.3) 正定性 利用矩阵迹的正定性:
$$(X,X)=\mathrm{tr}(XAX')=\mathrm{tr}\big((XA^{\frac{1}{2}})(XA^{\frac{1}{2}})'\big)\geq 0,$$
等号成立当且仅当 $XA^{\frac{1}{2}}=O$, 即当且仅当 $X=O$. 也可以考虑 $X'$ 的列分快 $X'=(\alpha_1’,\alpha_2',\cdots,\alpha_n')$, 则
$$(X,X)=\mathrm{tr}(XAX')=\sum_{i=1}^n\alpha_iA\alpha_i'\geq 0,$$
等号成立当且仅当所有的 $\alpha_i=0$, 即当且仅当 $X=O$.
(2) 利用矩阵迹的交换性, 可得如下等式:
$$(\varphi(X),Y)=\mathrm{tr}(PXQAY')=\mathrm{tr}(XQAY'P)=\mathrm{tr}\big(XA(A^{-1}QAY'P)\big)=\mathrm{tr}\big(XA(P'YAQ'A^{-1})'\big)=(X,P'YAQ'A^{-1}).$$
由伴随的唯一性即得 $\varphi^*(Y)=P'YAQ'A^{-1}$.
(3) $\varphi$ 是正交算子当且仅当 $\varphi^*\varphi=I_V$, 即当且仅当 $P'PYQAQ'A^{-1}=Y$ 对任意的 $Y\in V$ 成立. 令 $Y=I_n$, 可得 $QAQ'A^{-1}=(P'P)^{-1}$. 因此上式可改写为 $(P'P)Y=Y(P'P)$ 对任意的 $Y\in V$ 成立, 于是 $P'P=cI_n\,(c>0)$, 从而 $QAQ'A^{-1}=c^{-1}I_n$, 即 $QAQ'=c^{-1}A$. 反之, 当 $P'P=cI_n$ 且 $QAQ'=c^{-1}A\,(c>0)$ 时, 容易验证 $\varphi$ 满足 $\varphi^*\varphi=I_V$, 从而 $\varphi$ 是正交算子. $\Box$
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