$e^x\geqslant$$x$$+$$1$ 和 $x-1$$\geqslant$$\ln x$ 的来龙去脉和应用

重要的不等关系： \(e^x\geqslant x+1\) [从数的角度刻画]，

对应的形的角度的刻画：

那么对上述的结论如何做严格的证明呢？证明思路：

【法1】数形结合验证法[有失严谨，但直观好记忆]，令\(f(x)=e^x\)，\(g(x)=x+1\)，在同一个坐标系中作出这两个函数的图像如上，

由图像可知，\(e^x\geqslant x+1\) (当且仅当 \(x=0\) 时取到等号)

补充：至于函数\(f(x)=e^x\)和函数\(g(x)=x+1\)为什么会相切与点\((0，1)\)，我们可以用导数方法来解答。

【法2】作差构造函数法，令\(h(x)=e^x-x-1\)，则\(h'(x)=e^x-1\) ，

当\(x<0\)时，\(h'(x)<0\)；当\(x>0\)时，\(h'(x)>0\)；

即函数\(h(x)\)在\((-\infty，0)\)上单调递减，在\((0，+\infty)\)上单调递增，

故函数\(h(x)_{min}=h(0)=0\)，故\(h(x)\ge 0\)，当且仅当\(x=0\)时取到等号，