写在开头：zerorange 太巨了。
题目
求：
\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx \]解
首先发现 \(e^{-x^2}\) 不存在原函数。
令：
\[f(x)=e^{-x^2} \]\[h(x,y)=f(x)\cdot f(y) \]转化一下：
\[h(x,y)=e^{-x^2-y^2}=f(\sqrt{x^2+y^2}) \]考虑先求出这个东西的平方：
\[\iint_{R}h(x,y)\,dx\,dy \]用 \(f(\sqrt{x^2+y^2})\) 带入，考虑枚举半径：
\[\int_{0}^{\infty}2\pi x\cdot f(x)\,dx \]把 \(\pi\) 提到外面：
\[\pi \int_{0}^{\infty}2x\cdot f(x)\,dx \]这时候发现 \(2x\cdot f(x)\) 存在原函数（\(-e^{-x^2}\)），于是这个积分就求出来了：
\[\iint_{R}h(x,y)\,dx\,dy=\pi\left(\left(\lim _{x\to \infty}-e^{-x^2}\right)-\left(\lim _{x\to 0}-e^{-x^2}\right)\right)=\pi \left(0-(-1)\right)=\pi \]于是：
\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt \pi \]一道觉得比较神奇的题，把 \(e\) 和 \(\pi\) 扯上了关系。
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