《Orderary differential equations》, Jake K. Hale
Floquet theory
考虑系统
\[\begin{equation} \dot{x}=A(t) x \end{equation} \]其中\(A(t)\)是 \(T-\)周期的.
考虑三个函数类: \(\mathscr{D}=\mathscr{B}(-\infty,\infty),\mathscr{AP}\) 和 \(\mathscr{P}_T\)分别表示有界函数，概周期函数和\(T-\)周期函数的集合.
系统(1)称为关于关于某个函数类是非临界的如果系统(1)在此类中只有零解.
Remark: 假设系统(1)的基本解矩阵为\(X(t)\), 那么存在非奇异矩阵\(C\)使得\(X(t+T)=X(t)C\). 存在复矩阵\(B\)使得\(e^{BT}=C\)[参见矩阵对数理论]. \(C\)的特征值称为系统(1)的特征乘子, \(B\)的特征值称为系统(1)的特征指数. 显然对于\(A\)是常矩阵的情况, 系统(1)的特征指数就是\(A\)的特征值加上\(2k\pi i\).
结论1: \(X(t)\)可以表示为
\[X(t)=P(t)e^{Bt},~~P(t+T)=P(t). \]事实上, 令\(P(t)=X(t)e^{-Bt}\), 我们论证\(P(t+T)=P(t)\).
\[P(T+t)=X(t+T)e^{-BT}e^{-Bt} =X(t) C e^{-BT}e^{-Bt}=X(t)e^{-Bt}=P(t). \]结论2: 系统(1)可以经过一个周期变换化为常系数的线性微分方程.
事实上, 令\(x=P(t)y\), 那么在此变换下系统(1)被变为
\[\dot{y}=By. \]计算如下：
\[\dot{x}=A(t)x=A(t)P(t)y=\dot{P}(t)y+P(t)\dot{y} \]下面计算\(\dot{P}(t)\):
\[\dot{X}(t)=A(t)X(t)\rightarrow \dot{P}(t)e^{Bt}+P(t)e^{Bt} B=A(t)P(t)e^{Bt}\\ \Rightarrow\dot{P}(t)=A(t)P(t)-P(t) B. \]\[\Rightarrow A(t)P(t)y=A(t)P(t)y-P(t) By+P(t)\dot{y}\\ \Rightarrow \dot{y}=By. \]结论3: \(\lambda\)是系统(1)的一个特征指数当且仅当\(e^{\lambda t}p(t),p(t+T)=p(t)\)是(1)的一个解.
\(\Rightarrow\) 如果\(\lambda\)是(1)的一个特征指数, \(e^{\lambda T}\)是\(C\)的一个特征值(\(X(T+t)=X(t)C\)), 设\(x_\lambda\)是对于的特征向量, 那么\(X(t)x_{\lambda}\)是一个解. 为了证明\(X(t)x_{\lambda}\)具有形式\(p(t)e^{\lambda t}\), 令\(p(t)=X(t)x_{\lambda} e^{-\lambda t}\)有周期\(T\). 验证如下:
\[p(t+T)=X(t+T)x_{\lambda} e^{-\lambda T}e^{-\lambda t} =X(t)Cx_{\lambda} e^{-\lambda T}e^{-\lambda t} =X(t)e^{\lambda T}x_{\lambda} e^{-\lambda T}e^{-\lambda t}\\ =X(t)x_{\lambda}e^{-\lambda t}=p(t). \]\(\Leftarrow\) 假设\(e^{\lambda t}p(t)\)是(1)的一个解, 我们证明\(\lambda\)是(1)的一个特征指数. 假设\(e^{\lambda t}p(t)=X(t)x_0\), 那么
\[e^{\lambda t} e^{\lambda T} p(t+T)=X(t)Cx_0\\ \Rightarrow e^{\lambda T} X(t)x_0= e^{\lambda t} e^{\lambda T} p(t+T)=X(t)Cx_0\\ \Rightarrow X(t) [C-e^{\lambda T}]x_0=0\\ \Rightarrow [C-e^{\lambda T}]x_0=0 \]\(x_0\ne 0\) 蕴含\(\lambda\)是系统(1)的一个特征指数.
引理 1:
系统(1)关于\(\mathscr{B}(-\infty,\infty)(\mathscr{{\rm or} \, AP})\) 是非临界的当且仅当(1)的特征乘子具有非零实部；系统(1)关于\(\mathscr{P}_T\)是非临界的当且仅当\(X(T)-I\)是非奇异的.
证明 :[有界和概周期的情况] \(\Rightarrow\) 如果(1)有特征乘子\(\lambda\)实部非零. \(Re(\lambda)>0\)蕴含\(e^{\lambda t}p(t)\)正向无界; \(Re(\lambda)<0\)蕴含\(e^{\lambda t}p(t)\)负向无界，均矛盾.
\(\Leftarrow\) 如果所有特征乘子具有零实部, 任一解具有形式\(x(t)=e^{iwt}p(t),p(t+T)=p(t)\),它是概周期的(概周期函数包含于有界函数).
[周期的情况] \(x(t)=X(t)x(0)\)是系统(1)的一个周期解\(\Leftrightarrow x(T)=x(0)\Leftrightarrow[X(T)-I]x(0)=0\) 对于某个\(x(0)\ne 0\)\(\Leftrightarrow X(T)-I\) 非奇异.
引理 2: [Fredholm's alternative]
考虑系统
其中\(f\in\mathscr{D}\).
对于任何\(f\in\mathscr{P}_T\), 系统(2)在\(\mathscr{P}_T\)有解当且仅当
对伴随方程
\[ \begin{equation} \dot{y}=-yA(t) \end{equation} \]的所有\(T-\)周期解成立. 如果(3)成立, 那么系统(2)有一个带\(r\)个参数的\(T-\)周期解族, \(r\)是系统(1)的线性无关的\(T-\)周期解的个数.
证明 :
利用常数变易公式得到(2)的解
\(x(T)=x(0)\)蕴含
\[X(T,0)x(0)+\int_0^T X(T,s)f(s)ds=x(0)\\ \Rightarrow x(0)+\int_0^T X^{-1}(s,0)f(s)ds=X^{-1}(T,0)x(0)\\ \Rightarrow [X^{-1}(T,0)-I]x(0)=\int_0^T X^{-1}(s,0)f(s)ds \Rightarrow Bx(0)=b,\\~B= [X^{-1}(T,0)-I],~b=\int_0^T X^{-1}(s,0)f(s)ds \]满足\(Bx(0)=b\)的\(x(0)\)存在当且仅当\(rank(B)=rank(B,b)\)当且仅当\(b\)是\(B\)的列向量的线性组合, 这蕴含任何\(a: aB=0\)蕴含\(ab=0\). 令\(a=y(0)\), 那么\(aB=0\)蕴含\(y(T)=y(0)\), 即\(a\)是伴随方程是所有\(T-\)周期解的初值.
\[y(0)b=\int_0^T y(0)X^{-1}(s,0)f(s)ds=\int_0^Ty(t)f(s)ds,\]从而对伴随方程的所有\(T-\)周期解\(y\), 有(2)成立.
剩下的部分是显然的.
定理1: 对于任何\(f\in \mathscr{D}\), 系统(2)在\(\mathscr{D}\)中有一个解当且仅当系统(1)关于\(\mathscr{D}\)是非临界的.
如果系统(1)关于\(\mathscr{D}\)是非临界的, 那么系统(2)在\(\mathscr{D}\)中有唯一解\(\mathscr{K}f\),它关于\(f\)是连续线性的, 存在\(K>0\)使得
最后, 如果 \(\mathscr{D}=\mathscr{AP}\), 那么 \(m[\mathscr{K}f]\subset m[A,f].\)
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