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概率与期望学习笔记(copy)

时间:2024-02-22 17:56:27浏览次数:28  
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概率 & 期望

样本空间、随机事件

定义

一个随机现象中可能发生的不能再细分的结果被称为 样本点。所有样本点的集合称为 样本空间,通常用 \(\Omega\) 来表示。

一个 随机事件 是样本空间 \(\Omega\) 的子集,它由若干样本点构成,用大写字母 \(A, B, C, \cdots\) 表示。

对于一个随机现象的结果 \(\omega\) 和一个随机事件 \(A\),我们称事件 \(A\) 发生了 当且仅当 \(\omega \in A\)。

例如,掷一次骰子得到的点数是一个随机现象,其样本空间可以表示为 \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)。设随机事件 \(A\) 为「获得的点数大于 \(4\)」,则 \(A = \{ 5, 6 \}\)。若某次掷骰子得到的点数 \(\omega = 3\),由于 \(\omega \notin A\),故事件 \(A\) 没有发生。

事件的运算

由于我们将随机事件定义为了样本空间 \(\Omega\) 的子集,故我们可以将集合的运算(如和、差、交、并、补等)移植到随机事件上。记号与集合运算保持一致。

特别的,事件的并 \(A \cup B\) 也可记作 \(A + B\),事件的交 \(A \cap B\) 也可记作 \(AB\),此时也可分别称作 和事件积事件

因为事件在一定程度上是以集合的含义定义的,因此可以把事件当作集合来对待。

和事件 :相当于 并集 。若干个事件中只要其中之一发生,就算发生了它们的和事件。

积事件 :相当于 交集 。若干个事件必须全部发生,才算发生了它们的积事件。

概率

定义

古典定义

在概率论早期实践中,由于涉及到的随机现象都比较简单,具体表现为样本空间 \(\Omega\) 是有限集,且直观上所有样本点是等可能出现的,因此人们便总结出了下述定义:

如果一个随机现象满足:

  • 只有有限个基本结果;
  • 每个基本结果出现的可能性是一样的;

那么对于每个事件 \(A\),定义它的概率为

\[P(A)=\frac{card(A)}{card(\Omega)} \]

其中 \(card()\) 表示对随机事件(一个集合)大小的度量。

统计定义

如果在一定条件下,进行了 \(n\) 次试验,事件 \(A\) 发生了 \(N(A)\) 次,如果随着 \(n\) 逐渐增大,频率 \(\displaystyle\frac{N_A}{N}\) 逐渐稳定在某一数值 \(p\) 附近,那么数值 \(p\) 称为事件 \(A\) 在该条件下发生的概率,记做 \(P(A)=p\)。

公理化定义

概率函数 \(P\) 是一个从事件域 \(\mathcal{F}\) 到闭区间 \([0, 1]\) 的映射,且满足:

  • 规范性:事件 \(\Omega\) 的概率值为 \(1\),即 \(P(\Omega)=1\)。
  • 可数可加性:若一列事件 \(A_1, A_2, \cdots\) 两两不交,则 \(\displaystyle P\left( \bigcup_{i \geq 1} A_i \right) = \sum_{i \geq 1} P(A_i)\)。

概率函数的性质

对于任意随机事件 \(A, B \in \mathcal{F}\),有

  • 单调性:若 \(A \subset B\),则有 \(P(A) \leq P(B)\)。
  • 容斥原理:\(P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)\)。
  • \(P(A - B) = P(A) - P(AB)\),这里 \(A - B\) 表示差集。

条件概率

定义

若已知事件 \(A\) 发生,在此条件下事件 \(B\) 发生的概率称为 条件概率,记作 \(P(B|A)\)。

在概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 中,若事件 \(A \in \mathcal{F}\) 满足 \(P(A) > 0\),则条件概率 \(P(B|A)\) 定义为

\[P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} \qquad \forall B \in \mathcal{F} \]

可以验证根据上式定义出的 \(P(B|A)\) 是 \((\Omega, \mathcal{F})\) 上的概率函数。

根据条件概率的定义可以直接推出下面两个等式:

  • 概率乘法公式:在概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 中,若 \(P(A) > 0\),则对任意事件 \(B\) 都有

\[P(AB) = P(A)P(B|A) \]

  • 全概率公式:在概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 中,若一组事件 \(A_1, \cdots, A_n\) 两两不交且和为 \(\Omega\),则对任意事件 \(B\) 都有

\[P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i) \]

Bayes 公式

一般来说,设可能导致事件 \(B\) 发生的原因为 \(A_1, A_2, \cdots, A_n\),则在 \(P(A_i)\) 和 \(P(B|A_i)\) 已知时可以通过全概率公式计算事件 \(B\) 发生的概率。但在很多情况下,我们需要根据「事件 \(B\) 发生」这一结果反推其各个原因事件的发生概率。于是有

\[P(A_i|B) = \frac{P(A_iB)}{P(B)} = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n} P(A_j)P(B|A_j)} \]

上式即 Bayes 公式。

事件的独立性

在研究条件概率的过程中,可能会出现 \(P(B|A) = P(B)\) 的情况。从直观上讲就是事件 \(B\) 是否发生并不会告诉我们关于事件 \(A\) 的任何信息,即事件 \(B\) 与事件 \(A\)「无关」。于是我们就有了下面的定义

定义

若同一概率空间中的事件 \(A\),\(B\) 满足

\[P(AB) = P(A)P(B) \]

则称 \(A\),\(B\) 独立。对于多个事件 \(A_1, A_2, \cdots, A_n\),我们称其独立,当且仅当对任意一组事件 \(\{ A_{i_k} : 1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n \}\) 都有

\[P( A_{i_1}A_{i_2} \cdots A_{i_r} ) = \prod_{k=1}^{r} P(A_{i_k}) \]

直观地说,我们认为两个东西独立,当它们在某种意义上互不影响。例如,一个人出生的年月日和他的性别,这两件事是独立的;但一个人出生的年月日和他现在的头发总量,这两件事就不是独立的,因为一个人往往年纪越大头发越少。数学中的独立性与这种直观理解大体相似,但不尽相同。

多个事件的独立性

对于多个事件,一般不能从两两独立推出这些事件独立。考虑以下反例:

有一个正四面体骰子,其中三面被分别涂成红色、绿色、蓝色,另一面则三色皆有。现在扔一次该骰子,令事件 \(A\),\(B\),\(C\) 分别表示与桌面接触的一面包含红色、绿色、蓝色。

不难计算 \(P(A) = P(B) = P(C) = \displaystyle\frac{1}{2}\),而 \(P(AB) = P(BC) = P(CA) = P(ABC) = \displaystyle\frac{1}{4}\)。

显然 \(A\),\(B\),\(C\) 两两独立,但由于 \(P(ABC) \ne P(A)P(B)P(C)\),故 \(A, B, C\) 不独立。

随机事件的独立性

我们称两个事件 \(A\),\(B\) 独立,当 \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)。

我们称若干个事件 \(A_{1,\dots,n}\) 互相独立,当对于其中的任何一个子集,该子集中的事件同时发生的概率,等于其中每个事件发生的概率的乘积。形式化地说:

\[P(\bigcap_{E \in T} E) = \prod_{E \in T} P(E). \forall T \subseteq \{A_1,A_2,\dots,A_n\} \]

由此可见,若干事件 两两独立互相独立 是不同的概念。

随机变量的独立性

一下用 \(I(X)\) 表示随机变量 \(X\) 的取值范围。即,如果把 \(X\) 看做一个映射,则 \(I(X)\) 看做它的值域。

我们称两个随机变量 \(X,Y\) 独立,当 \(P((X = \alpha) \cap (Y = \beta)) = P(X = \alpha) P(Y = \beta)\), \(\forall\alpha\in I(X),\beta\in I(Y)\),即 \((X,Y)\) 取任意一组值得概率,等于 \(X\) 和 \(Y\) 分别取对应值得概率的乘积。

我们称若干个随机变量 \(X_{1,\dots,n}\) 互相独立,当 \((X_1,X_2,\dots,X_n)\) 取任意一组值得概率,等于每个 \(X_i\) 分别取对应值的概率的乘积。形式化地说:

\[P\Big(\bigcap_{i = 1}^n X_i = F_i\Big) = \prod_{i = 1}^{n} P(X_i = F_i), \forall F_{1,\dots,n} s.t. F_i \in I(X_i) \]

由此可见,若干随机变量 两两独立互相独立 是不同的概念。

概率的计算

  • 广义加法公式:对于任意两个事件 \(A,B\) 有 \(\displaystyle P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)。

  • 条件概率:记 \(P(B \mid A)\) 表示在 \(A\) 事件发生的前提下, \(B\) 事件发生的概率。则 \(\displaystyle P(B \mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)}\),其中 \(P(AB)\) 为事件 \(A\) 和事件 \(B\) 同时发生的概率。

  • 乘法公式:\(P(AB) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B)\)。

  • 全概率公式:若事件 \(A_1,A_2,A_3.\dots,A_n\) 构成一组完备的事件且都有正概率,即 $\forall i,j,A_i \cap A_j = \varnothing $ 且 \(\displaystyle \sum_{i = 1}^n A_i = 1\), 则有 \(\displaystyle P(B) = \sum_{i=1} ^nP(A_i)P(B \mid A_i)\)。

  • 贝叶斯定理:\(\displaystyle P(B_i \mid A) = \frac{P(B_i) P(A \mid B_i)}{\displaystyle \sum_{j = 1}^n P(B_j) P(A \mid B_j)}\)

随机变量

直观地说,一个随机变量,是一个取值由随机事件决定的变量。

如果基于概率的公理化定义,那么一个随机变量。形式化地说——是一个从样本空间 \(S\) 到实数集 \(\R\)(或者 \(\R\) 的某个子集)的映射 \(X\) 。如果 \(X(A) = \alpha\),你可以直观理解为:当随机实验 \(E\) 取结果 \(A\) 时,该随机变量取值 \(\alpha\)。

由此可以看到,“随机变量 \(X\) 取值 \(\alpha\) ”(简记为 \(X = \alpha\))也对应着一个能实现该命题的单位事件集合,因此它也是一个事件,于是也有与之对应的概率 \(P(X = \alpha)\)。

期望

引入

想象一下这样一个场景:狗狗 Emissary 想找 tsqtsqtsqslay,但是 tsqtsqtsq 今天想搞卷,于是他想出了这样个办法:

  • 如果狗狗 Emissary 在今天的 \(\texttt{clg round}\) 中获得大于 300 pts,tsqtsqtsq 就会陪它打三小时。
  • 如果狗狗 Emissary 在今天的 \(\texttt{clg round}\) 中获得大于 200 pts,tsqtsqtsq 就会陪它打两小时。
  • 如果狗狗 Emissary 在今天的 \(\texttt{clg round}\) 中获得大于 100 pts,tsqtsqtsq 就会陪它打一小时。
  • 如果狗狗 Emissary 在今天的 \(\texttt{clg round}\) 中获得大于 0 pts,tsqtsqtsq 就会陪它打半小时。

因为狗狗 Emissary 很强,所以它不会保龄。

试求 tsqtsqtsq 陪狗狗 Emissaryslay 的期望时长。

我们首先根据条件列出下面这张表格:

分数 时长 概率
\((300,400]\) \(3\) 小时 \(\displaystyle\frac{1}{4}\)
\((200,300]\) \(2\) 小时 \(\displaystyle\frac{1}{4}\)
\((100,200]\) \(1\) 小时 \(\displaystyle\frac{1}{4}\)
\((0,100]\) \(0.5\) 小时 \(\displaystyle\frac{1}{4}\)

令狗狗 Emissary 在今天的 \(\texttt{clg round}\) 中获得大于 300 pts为事件 \(A\)。以此类推,其余三种事件分别为 \(B\),\(C\),\(D\),不难求出期望时长为:

\[\displaystyle E(X)=\frac{1}{4}\times 3+\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\times 1+\frac{1}{4}\times 0.5=\frac{13}{8}=1.625 \]

所以 tsqtsqtsq 陪狗狗 Emissaryslay 的期望时长为 \(1.625\) 小时,即 \(97.5\) 分钟。

大数定律表明,随着重复次数接近无穷大,数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值,即令第 \(i\) 次 \(\texttt{clg round}\) 后 tsqtsqtsq 陪狗狗 Emissaryslay 的时长为 \(f_i\),总共有 \(x\) 次 \(\texttt{clg round}\),则有:

\[\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{x}f_i}{x}=E(X) \]

所以在打了不知道多少场 \(\texttt{clg round}\) 之后 tsqtsqtsq 陪狗狗 Emissaryslay 的时长肯定会趋近于这个期望时长。

定义

如果一个随机变量的取值个数有限(比如一个表示骰子示数的随机变量),或可能的取值可以一一列举出来(比如取值范围为全体正整数),则它称为 离散型随机变量

形式化地说,一个随机变量被称为离散型随机变量,当它的值域大小 有限 或者为 可列无穷大

一个离散性随机变量 \(X\) 的 数学期望 是其每个取值乘以该取值对应概率的总和,记为 $E(X) $。

\[E(X) = \sum_{\alpha \in I(X)} \alpha \cdot P(X = \alpha) = \sum_{\omega \in S} X(\omega) \cdot Y(\omega) \]

其中 \(I(X)\) 表示随机变量 \(X\) 的值域,\(S\) 表示 \(X\) 所在概率空间的样本集合。

性质

  • 全期望公式: \(\displaystyle E(Y)=\sum_{\alpha\in I(X)}P(X=\alpha)\cdot E(Y\mid(X=\alpha))\),其中 \(X,Y\) 是随机变量,\(E(Y\mid A)\) 是在 \(A\) 条件成立下 \(Y\) 的期望(即“条件期望”)。可由全概率公式证明。
  • 期望的线性性 :对于任意两个随机变量 \(X\),\(Y\) (不要求相互独立),有 \(E(\lambda X+\mu Y) = \lambda E(X) + \mu E(Y)\) 。利用这个性质,可以将一个变量拆分成若干个互相独立的变量,分别求这些变量的期望值,最后相加得到所求变量的值。
  • 乘积的期望 : 当两个随机变量 \(X\),\(Y\) 相互独立时,有 \(E(XY) = E(X) \cdot E(Y)\) 。

期望与概率的转化

对于随机事件 \(A\),考虑其示性函数 \(I_A\):

\[I_A(\omega) = \begin{cases} 1, & \omega \in A \\ 0, & \omega \notin A \end{cases} \]

根据定义可以求得其期望 \(EI_A = P(A)\)。这一转化在实际应用中非常常见。

条件分布与条件期望

我们之前研究过条件概率,类似的也可以提出所谓条件期望的概念。

定义

对于两个随机变量 \(X\),\(Y\),在已知 \(Y = y\) 的条件下 \(X\) 的概率分布(密度函数)称之为 条件概率分布(条件概率密度),分别记作

\[P( X = x_i | Y = y ) \qquad f_{X|Y}(x|y) \]

在此条件下,\(X\) 的期望称为 条件期望,记作 \(E[X|Y=y]\)。

条件期望的性质

条件期望的诸多性质可由条件概率推知,在此不做赘述。

值得一提的是 \(E[X | Y]\) 一般是随机变量 \(Y\) 的函数,且这个函数通常不是线性的。但实际上有

\[E[E[X|Y]] = EX \]

上式称作 全期望公式

常用的套路以及技巧

\[\sum_{i=0}^nx^i=\frac{1=x^{n+1}}{1-x} \]

当 \(n \rightarrow \infty\) 时:

\[\sum_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x} \]

前缀和技巧

对于离散变量, \(P(X = K) = P(X \leq K ) - P(x \leq k - 1)\)。

例 1

有 \(n\) 个随机变量 \(X_{1,\dots,n}\),每个随机变量都是从 \(\lbrack 1,S \rbrack\) 中随机一个整数,求 \(\max(X_{1,\dots,n})\) 的期望。

\[\begin{aligned} E(\max) &= \sum_{i = 1}^S P(\max = i) \cdot i\\ &= \sum_{i=1}^S (P(\max \leq i) - P(\max \leq i - 1)) - 1\\ &= \sum_{i=1}^S \Big(\frac{i^n}{S^n} - \frac{(i-1)^n}{S^n} \Big) \cdot i \end{aligned} \]

例 2

概率为 \(p\) 的事件期望 \(\displaystyle\frac{1}{p}\) 次之后发生。

\[\begin{aligned} E(X) &= \sum_i P(X = i) i \\ &= \sum_{i} P(X \ge i) - P(X \ge i + 1) \cdot i\\ &= \sum_{i} ((1 - p)^{i-1} - (1 - p) ^i) \cdots i \\ &= [(1 - p)^0 - (1-p)] + [(1-p)-(1-p)^2] + \dots \\ &= \sum_{i = 0} ^{\infty}(1-p)^i = \frac{1}{1-(1-p)} = \frac{1}{p} \end{aligned} \]

拿球问题

例 1

箱子里有 \(i\) 个球 \(1 \dots n\),你要从里面拿 \(m\) 次球,拿了后不放回,求取出的数字之和的期望。

\[\sum_{i=1}^n P(i) \times i = \sum_{i = 1}^n\frac{m}{n} \times i= \frac{m}{n} \times \frac{n\times (n+1)}{2} = \frac{m \times (n + 1)}{2} \]

例 2

箱子里有 \(i\) 个球 \(1 \dots n\),你要从里面拿 \(m\) 次球,拿了后放回,求取出的数字之和的期望。

放不放回概率是一样的,所以:

\[ans = \frac{m\times (n + 1)}{2} \]

例 3

箱子里有 \(n\) 个球 \(1 \dots n\),你要从里边拿 \(m\) 次球,拿了之后有 \(\displaystyle\frac{1}{p_1}\) 的概率放回,求取出的球上数字和的期望。

从拿了第一个球和第二个球来看,如果题目中没有要求有概率放回,如果是典例 \(1\) 的那种情况,第一次取得时候每一个球被取中的概率为 \(\displaystyle\frac{1}{n}\),第二次取得时候每个球被取中的概率为 \(\displaystyle\frac{1}{n-1}\)。

如果加上限制,分别看两种情况。

看拿了第一个球之后,放回的概率就是 \(\displaystyle\frac{1}{p_1}\),这个时候再拿第二个球每个球被取中的概率为 \(\displaystyle\frac{1}{p_1}\times\frac{1}{n}=\frac{1}{P_1n}\)。

我们把不放回的概率设为 \(\displaystyle \frac{p_1-1}{p_1}\),如果不放回,取到每一个球的概率就是 \(\displaystyle\frac{n-1}{n}\times\frac{1}{n-1}\),前后乘起来就是:\(\displaystyle\frac{p_1-1}{p_1n}\)。

两种情况算期望的时候为 \(P_1 \times i + P_2 \times i\),会发现合并起来就是 \(\displaystyle\frac{1}{n} \times i\) ,和上边的一样,所以选 \(m\) 次的概率,选中 \(i\) 的概率还是 \(\displaystyle\frac{m}{n}\)。

\[ans = \frac{m \times {n + 1}}{2} \]

游走问题

例 1

在一条 \(n\) 个点的链上游走,求从一端走到另一端的概率。
解:

用 \(X_i\) 表示 \(i\) 走到 \(i + 1\) 期望走多少步。

\[\begin{aligned} E(n) &= \sum_{i = 1}^n E(X_i) \\ E(X_i) &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \Big(1 + E(X_{i - 1}) +E(X_i)\Big) \\ E(X_i) &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times E(X_{i - 1}) + \frac{1}{2} \times E(X_i) \\ E(X_i) &= E(X_{i - 1}) + 2 \\ E(n) &= 1 + 3 + 5 + \dots + 2 \times n - 3 = (n - 1) ^ 3 \end{aligned} \]

例 2

在一个 \(n\) 个点的完全图上游走,求期望走多少步才能走到另一个点。
解:

每个点到其他点的概率都是 \(\displaystyle\frac{1}{n - 1}\),所以期望就是 \(n - 1\) 次成功。

例 3

在一张 \(2 \times n\) 个点的完全二分图上游走,求从一个点走到另一个点的概率。
解:

左边等价,右边等价。

  • 两点在同侧:\(\displaystyle\frac{1}{n} + \frac{n - 1}{n} \times (2 + A)\)。
  • 两点在异侧:\(1 + A\)。

例 4

在一张 \(n\) 个点的菊花图上游走,求一个点走到另一个点的概率。

解:

  • A.根到叶:\(\displaystyle\frac{1}{n - 1} + \frac{n - 2}{n - 1} \times (2 + A)\)。
  • B.叶到根:\(1\)。
  • C.叶到叶:\(A + 1\)。

例 5

在一棵 \(n\) 个点的树上游走,求从根节点走到 \(x\) 的期望步数。

解:

\(X_i\) 表示从 i 点游走,走到 \(father_i\) 的期望步数,\(d_i\) 为 \(i\) 的入度。

\[f_x = \frac{1}{d_x} + \frac{1}{d_x} \times \sum_{i = 1}^{d_x} (1 + f_{son_x} + f_x) \]

经典问题

例 1

每次随机取一个 \([1,n]\) 的整数,问期望多少次能够凑齐所有的数。
解: 考虑每次取得时候取中以前没取过的数的概率,显然是 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{n-i}{n}\)。

上边那个东西也等于 \(\displaystyle\sum_{i=1}\frac{i}{n}\),期望就是 \(\displaystyle\sum_{i=1}\frac{n}{i}\) 。

例 2

随机一个长度为 \(n\) 的排列 \(p\),求 \(P_1.\dots, P_i\) 中的最大值为 \(P_i\) 的概率。

解:
\(\displaystyle \sum_{i = 1}^n \frac{1}{n}\)。
每个前缀中,最大值都有 \(i\) 个位置可以选,所以是 \(\displaystyle\frac{1}{i}\)。

例 3

随机一个长度为 \(n\) 的排列 \(p\),求 \(i\) 在 \(j\) 后边的概率。

解:
\(\displaystyle\frac{1}{2}\),挺显然的。

例 4

随机一个长度为 \(n\) 的排列 \(p\),求它包含 \(w_{i}, i \in [1,m]\) 为子序列 / 子串的概率。

  • 子序列,\(\left(\begin{array}{c}n\\m\end{array}\right)\displaystyle\times\frac{(n - m)!}{n!}=\frac{1}{m!}\),把他想想象成很多方块,每个方块都能放一个数,因为是子序列,就从里边选 \(m\) 个块,放这个子序列,剩下的可以随便放,挺显然的。
  • 子串,\(\displaystyle (n - m + 1) \times \frac{(n - m)!}{n!} = \frac{(n - m + 1)!}{n!}\),考虑剩下的 \(n-m\) 个数都放好了,有 \(\displaystyle\frac{(n - m)!}{n!}\) 种方案,然后从 \(n - m + 1\) 个空中任选一个插入长度为 \(m\) 的子串,就是上边那个式子。

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