原文
第1题 二元一次不定方程
引理2
如果a，b和c是正整数，满足(a,b)=1且a|bc，则a|c.
证明
由于(a, b)=1，存在整数x和y使得ax+by=1.等式两边同时乘以c，得 acx+bcy=c。
根据定理2，a整除(cx)a + y(bc)，这是因为这是a和bc的线性组合，而它们都可以被a整除。因此，a l c。
定理8
设a,b是整数且d=(a,b)。如果d∤c，那么方程ax+by=c没有整数解，如果d l c，那么存在无穷多个整数解。
另外，如果x = x0, y = y0是方程的一个特解，那么所有的解可以表示为：
x = x0 + (b/d)n， y = y0 - (a/d)n，其中n是整数。
证明
由定理7可知，ax+by的结果是d的倍数，因此如果d∤c，那么方程ax+by=c没有整数解。
如果d l c，存在整数s, t使得as + bt = d。
因为d|c，存在整数e使得de = c，c = de = (as + bt)e = a*(se) + b*(te)。
因此x0 = se, y0 = te是方程ax + by = c的一个特解。
为了证明方程存在无穷多个解，令x = x0 + (b/d)n，y = y0 - (a/d)n，其中n是整数。
(1) 证明任何一对整数(x0+(b/d)n, y0 - (a/d)n)它是方程的解。
因为a(x0+(b/d)n) + b(y0 - (a/d)n) = ax0 + by0 + a(b/d)n - b(a/d)n = ax0 + by0，而ax0+by0是方程ax+by=c的解，所以(x0+(b/d)n, y0 -(a/d)n)就是方程的解。
(2)证明方程的任何一个解都具有(x0+(b/d)n, y0 - (a/d)n)这种形式。
假设整数x,y满足ax+by=c，又因为ax0+by0= c，两式相减得到：a(x-x0)+b(y-y0)=0。
即a(x-x0) = b(y0-y)，等式两边同时除以d得到(a/d)(x-x0) = (b/d)(y0-y)，根据定理4，a/d与b/d互质，再根据引理2，(a/d) | (y0-y),因此存在整数n使得(a/d)n = y0 - y，于是得到y=y0-(a/d)n。
同理可得，(b/d) | (x-x0),因此存在整数n使得(b/d)n = x - x0，于是得到x=x0+(b/d)n。
注释
第1题 二元一次不定方程
引理2
如果a，b和c是正整数，满足(a,b)=1且a|bc，则a|c.
举例，a=3，b=7，c=6，3|42，3|6。因为a，b互质，想要bc是a的倍数，只可能c是a的倍数
证明
由于(a, b)=1，存在整数x和y使得ax+by=1.等式两边同时乘以c，得 acx+bcy=c。
根据定理2（c | a，c | b，则c | (ma+nb).），a整除(cx)a + y(bc)，这是因为这是a和bc的线性组合（a*cx+y*bc），而它们都可以被a整除（cx（a）+y（bc）=acx+bcy=c）
。因此，a l c。
定理8
设a,b是整数且d=(a,b)。如果d∤c，那么方程ax+by=c没有整数解，如果d l c，那么存在无穷多个整数解。
另外，如果x = x0, y = y0是方程的一个特解，那么所有的解可以表示为：
x = x0 + (b/d)n， y = y0 - (a/d)n，其中n是整数。
举例：4x+6y=14，a=4，b=6，d=gcd（a，b）=2 ； （2,1）是一个特解，（2+6/2*n，1-4/2*n）是一组解，n为整数。化简得（2+3n，1-2n）
假设n= -2,（2-6,1+4）=（-4，5），发现确实是一组解（-16+30=14）
证明
假设有ax+by=c，d=（a，b），d | c，假设有一组特解（x，y），按x从小到大排序，其中
（x0，y0） => ax0+by0=c，我们假设有一个偏移值d1，d2，（x0+d1，y0+d2）的答案也是符合的
a（x0+d1）+b（y0+d2）=c
ax0+ad1+by0+bd2=c
ax0+by0+ad1+bd2=c
c+ad1+bd2=c
ad1+bd2=0
ad1=-bd2
d1=-bd2/a
d1/d2=-b/a
d1/d2=b/（-a）
d1/d2=（b/d）/（（-a）/d）
d1=（b/d），d2=（（-a）/d）
得出偏移量，带入原式
（x0+b/d，y0-a/d），发现乘n结果还是成立
由定理7（如果a，b是正整数，那么所有a，b的线性组合构成的集合与所有(a，b)的倍数构成的集合相同。）可知，
ax+by的结果是d的倍数，因此如果d∤c，那么方程ax+by=c没有整数解。
如果d l c，存在整数s, t使得as + bt = d。
因为d|c，存在整数e使得de = c，c = de = (as + bt)e = a*(se) + b*(te)。
因此x0 = se, y0 = te是方程ax + by = c的一个特解。
为了证明方程存在无穷多个解，令x = x0 + (b/d)n，y = y0 - (a/d)n，其中n是整数。
(1) 证明任何一对整数(x0+(b/d)n, y0 - (a/d)n)它是方程的解。
因为a(x0+(b/d)n) + b(y0 - (a/d)n) = ax0 + by0 + a(b/d)n - b(a/d)n = ax0 + by0，而ax0+by0是方程ax+by=c的解，所以(x0+(b/d)n, y0 -(a/d)n)就是方程的解。
(2)证明方程的任何一个解都具有(x0+(b/d)n, y0 - (a/d)n)这种形式。
假设整数x,y满足ax+by=c，又因为ax0+by0= c，两式相减得到：a(x-x0)+b(y-y0)=0。
即a(x-x0) = b(y0-y)，等式两边同时除以d得到(a/d)(x-x0) = (b/d)(y0-y)，根据定理4，a/d与b/d互质，再根据引理2，(a/d) | (y0-y),因此存在整数n使得(a/d)n = y0 - y，于是得到y=y0-(a/d)n。
同理可得，(b/d) | (x-x0),因此存在整数n使得(b/d)n = x - x0，于是得到x=x0+(b/d)n。
标签：方程,二元,数论,整数,by0,ax,y0,x0,不定 From： https://www.cnblogs.com/didiao233/p/18004374