[王崧-数论01]从自然数到算数基本定理

$$\color{indigo}\large\text{[王崧-数论01]从自然数到算数基本定理}$$

$\large\mathbb{Part\ 01}\text{自然数,归纳和最小数原理}$

$\text{1.1 自然数}$

$\mathbb{N_1=\{1,2,3,...\}}$

$\mathbb{N_0=\{0,1,2,...\}}$

$\mathbb{Z=\{0,\pm1,\pm2,\pm3...\}}$

$\text{“道生一,一生二,二生三,三生万物.”}$

$\text{1.2}$ $\mathbb{N_1,\pm}$

$\mathbb{N_1:}$

> $\text{特殊元:\ 1}$

> $\text{一元运算:}\mathbb{\ a \mapsto a+}$

> $\text{公理:}$

>>- $\text{1不是任何数的后继数.}$
>>- $\text{除1以外,任何其他数都是某一个数的后继数.}$
>>- $\text{不同的数后继数不同.}$

> $\text{用数学语言表示即:}$

>>- $\mathbb{\forall a, 1\neq a+}$
>>- $\mathbb{\forall a, a\neq 1, \exists b,b=a+}$
>>- $\mathbb{\forall a,b,\ a+\ =\ b+ ⇒ a=b}$

$\mathbb{\pm:N_1\rightarrow N_1,(\because)}\text{单射}\mathbb{,(\therefore)}\text{像}\mathbb{=N_2-\{1\}}$

$\text{1.3 归纳公理}$

$\text{第一归纳法：}$

> $\text{设P(n)是关于自然数n的命题,}$

> $\text{假设:(1)P(1)成立\ (2)如果P(n)成立则P(n+)成立}$

> $\text{则对任意的n,P(n)成立}$

$\text{第二归纳法：}$
> $\text{假设:(1)Q(1)成立\ (2)如果}\mathbb{\forall}\text{k<n,Q(k)成立}$

> $\mathbb{⇒}\text{对于任意的n,Q(n)成立}$

> $\text{P(n)=Q(1)}\mathbb{\wedge}\text{Q(2)}\mathbb{\wedge ...}\mathbb{\wedge}\text{Q(n)}$

$\text{归纳构造,我们可以根据此法造出P(n)}$

> $\text{造出P(1),根据一定规则,P(1),P(2),...,P(n-1)}$

> $\mathbb{⇒}\text{造出P(n)(n}\mathbb{\in N)}$