数论专场

Strange Limit

题目大意

给你 \(p\) 和 \(m\) ，求 \(p^{p^{p^{p……}}}\ mod\ m!\)

思路

有 \(n\) 个 \(p\)， \(n\) 为无穷大,也就是递归里套一个指数循环节，然后因为 \(n\) 趋向于无限大，那么当前要 \(mod\) 的 \(x\) \(\mu (\mu (\mu (m)))\)，也在一直缩小。
如果当 \(p\ mod\ x=0\) 的时候，就是返回个 \(p^p\ mod\ x\)，再往上就是 \(0\) 的几次方了，已经没有影响了。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int p,m,A[15]={1};
int euler(int x)
{
    int ans=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            ans-=ans/i;
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    }
    if(x>1) 
        ans-=ans/x;
    return ans;
}
ll qpow(ll a,ll b,ll c)
{
    ll ans=1;
    if(a>=c) 
        a=a%c+c;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans*=a;
            if(ans>=c) 
                ans=ans%c+c;
        }
        a*=a;
        if(a>=c) 
            a=a%c+c;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll ap(int x)
{
    if(p%x==0) 
        return qpow(p,p,x);
    return qpow(p,ap(euler(x)),x);
}
int main()
{
    freopen("limit.in", "r", stdin);
    freopen("limit.out", "w", stdout);
    for(int i=1;i<=12;i++) 
        A[i]=A[i-1]*i;
    cin>>p>>m;
    printf("%lld\n",ap(A[m])%A[m]);
    return 0;
}

GCD Determinant(SP4195)

题目大意

有 \(n\) 个正整数 \(a_i\) 和一个 \(n\times n\) 的矩阵，矩阵中 \(i\) 行 \(j\) 列的元素为 \(gcd(a_i,a_j)\)，求矩阵的行列式。

思路

结论为 \(\phi a_1\times \phi a_2\times \phi a_3 \times ……\times \phi a_n\)。
(可以先暴力算出矩阵的行列式，然后消掉)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
ll solve(int x)
{
	ll ans=x;
	for(int i=2;i<=x/i;i++)
    {
		if(x%i==0)
        {
			ans=ans*(i-1)/i;
			while(x%i==0) 
                x/=i;
		}
	}
	if(x>1) 
        ans=ans*(x-1)/x;
	return ans%mod;
}
int n;
int main()
{
    while(cin>>n)
    {
        ll ans=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int x;
            cin>>x;
            ans=ans*solve(x)%mod;
        }
        cout<<ans<<'\n';
    }
    return 0;
}

Remainders Game(CF687B)

题目大意

给定 \(n\) 个正整数 \(c_i\) 和 \(k\)，假设你知道一个数 \(x\)，问能否从 \(x\ mod\ c_i\) 推出 \(x\ mod\ k\)。

思路

用中国剩余定理，所以我们知道只要 \(c_i\) 中包含了所有的 \(k\) 的质因数就可以推出，但把每个数全部分解质因数明显不可以，其实只要 \(c_i\) 的最小公倍数 \(mod\ k=0\) 就可以了，注意每次还要 \(mod\ k\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0' && ch<='9')
    {
        x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
int n,k;
ll add=1;
int main()
{
    n=read(),k=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll x=read();
        add=add*x/__gcd(add,x)%k;
    }
    if(add%k==0)
        puts("Yes");
    else
        puts("No");
    return 0;
}

总结

上午是请了南京大学的教授讲数论，分了三小节课讲，第一节的全部和第二节的一部分能听懂，从中国剩余定理讲到一堆东西，再讲到群和矩阵。