定义

第一定义：圆锥曲线，又称二次曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线。包括椭圆、抛物线和双曲线。

二次曲线标准解析式为 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)，在不同情况下会退化。

第二定义：到定点（焦点）与到定直线（准线）的距离之比为常数 \(e\) 的点的轨迹。

分类

几何分类

1. 当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2. 当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3. 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4. 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。
5. 当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。
6. 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
7. 当平面与二次锥面的两侧都不相交，且过圆锥顶点，结果为一点。

代数分类

1. 当 \(e=0\) 时，轨迹为圆。
2. 当 \(0<e<1\) 时，轨迹为离心率为 \(e\) 的椭圆。
3. 当 \(e=1\) 时，轨迹为抛物线。
4. 当 \(e>1\) 时，轨迹为离心率为 \(e\) 的双曲线。

圆

定义：平面内到一个点距离为常数的点的轨迹称为圆，这个点称为圆心，这个长度成为半径。

标准方程：\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\)，点 \((a,b)\) 为圆心，\(R\) 为半径。

一般方程：\(x^2+y^2+dx+ey+f=0\)，需满足 \(d^2+e^2-4f>0\)。

过圆上一点 \(P(x_0,y_0)\) 的切线方程：

特殊地，当 \(P\) 不在圆上，一条直线过 \(P\) 且满足上述式子时，这条直线为该圆的极线。

椭圆

定义：平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹称为椭圆，两个定点为左、右焦点。

标准方程：\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)，满足 \(a>b>0\)。

其中，两个焦点的坐标为 \((\pm c,0)\)，距离之和为 \(2a\)，而记 \(b=\sqrt{a^2-c^2}\)。当 \(b>a>0\) 时，两个顶点在 \(y\) 轴上。

离心率：定义 \(e=\dfrac ca\)，称 \(e\) 为椭圆的离心率，则 \(0<e<1\)。当 \(e=0\) 时，椭圆变为圆。

不难发现 \(e\) 越大，椭圆的形状越扁平；\(e\) 越小，形状越接近圆。

未完。