费马小定理
\(a, p \in\mathbb{Z_+}\)， \(p\) 为质数，\(\gcd(a,p) = 1\)。
定理： \(a^{p-1}\equiv 1 \pmod p\) 。
证明:
考虑下面两个整数集合：
\[A=\{x \in \mathbb{Z_+}|1 \le x < p\} \]\[B=\{y \in \mathbb{Z_+}|y=ax,x \in A\} \]\(A\) 中很明显每个数对 \(p\) 取余各不相同，且为 \(1\) 到 \(p-1\) 。
假设 \(B\) 中存在两个数 \(y_0=ax_0, y_1=ax_1\) 满足:
\[y_0 \equiv y_1 \pmod p \]则会有：
\[ax_0 \equiv ax_1 \pmod p \]\(\because \gcd(a,p)=1\)，所以我们有：
\[x_0 \equiv x_1 \pmod p \]但根据定义可知，\(x_0,x_1 \in A\)，而 \(A\) 中不存在两个数对 \(p\) 取余相同。矛盾！
故假设不成立，\(B\) 中任意两个数对 \(p\) 取余不相同。
又 \(\because \gcd(a,p)=1\) 且 \(\forall x \in A,\gcd(x,p)=1\)。
\(\therefore\) \(B\) 中不存在 \(y\) 使得 \(y \equiv 0 \pmod p\)。
不难发现，在模 \(p\) 意义下 \(A\) 与 \(B\) 其实是等价的。
现在把 \(A\) 中的数和 \(B\) 中的数各自相乘，得到：
\[(p-1)!\equiv a^{p-1}(p-1)! \pmod p \]\(\because\) \((p-1)!\) 与 \(p\) 互质。\(\therefore\) 可以把两边同时除以 \((p-1)!\) 得到：
\[a^{p-1}\equiv 1\pmod p \]得证。
欧拉定理
\(a, p \in\mathbb{Z_+}\)， \(\gcd(a,p) = 1\)。
定理： \(a^{\varphi(p)}\equiv 1 \pmod p\) 。
证明：
考虑下面两个整数集合：
\[A=\{x \in \mathbb{Z_+}|\gcd(a,p)=1,1 \le x < p\} \]\[B=\{y \in \mathbb{Z_+}|y=ax,x \in A\} \]根据欧拉函数的定义可知，\(|A|=|B|=\varphi(p)\)。
\(A\) 中很明显每个数对 \(p\) 取余各不相同。
假设 \(B\) 中存在两个数 \(y_0=ax_0, y_1=ax_1\) 满足:
\[y_0 \equiv y_1 \pmod p \]则会有：
\[ax_0 \equiv ax_1 \pmod p \]\(\because \gcd(a,p)=1\)，所以我们有：
\[x_0 \equiv x_1 \pmod p \]但根据定义可知，\(x_0,x_1 \in A\)，而 \(A\) 中不存在两个数对 \(p\) 取余相同。矛盾！
故假设不成立，\(B\) 中任意两个数对 \(p\) 取余不相同。
又 \(\because \gcd(a,p)=1\) 且 \(\forall x \in A,\gcd(x,p)=1\)。
\(\therefore\) \(B\) 中不存在 \(y\) 使得 \(y \equiv 0 \pmod p\)。
不难发现，在模 \(p\) 意义下 \(A\) 与 \(B\) 其实是等价的。
现在把 \(A\) 中的数和 \(B\) 中的数各自相乘，得到：
\[\prod_{x\in A}x\equiv a^{\varphi(p)}\prod_{x \in A} \pmod p \]\(\because\) \(\prod_{x\in A}x\) 与 \(p\) 互质。\(\therefore\) 可以把两边同时除以 \(\prod_{x\in A}x\) 得到：
\[a^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p \]得证。
扩展欧拉定理
根据欧拉定理，如果 \(\gcd(a,m)=1\)，则 \(a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(m)} \pmod m\)。
而扩展欧拉定理则说，如果 \(\gcd(a,m) \not = 1\) 时，有：
\[a^b\equiv \begin{cases} a^b& b \le \varphi(m)\\ a^{b \bmod \varphi(m)+\varphi(m)} & b > \varphi(m) \end{cases} \pmod m \]证明 oi-wiki 上有。
这样我们就能够快速计算 \(a^b \bmod m\) 这一类问题，只用 \(O(\log m)\) 的时间，而不是快速幂 \(O(\log b)\)。
结论
结论1： 若最小的 \(x \le \varphi(n)\) 且 \(a^x\equiv 1 \pmod p(\gcd(a,p)=1)\)，则 \(x|\varphi(p)\)。
证明：
反证法。
设 \(\varphi(n)=gx+r(1 \le r < x)\)，则 \(a^{gx+r}\equiv 1 \pmod p\)。
所以 \(a^{r} \equiv 1 \pmod p\)，而 \(r < x\)，与 \(x\) 最小性矛盾，所以结论成立。
练习
题目1： 给定 \(P,A \le 10^8\)，求出 \(\frac{1}{P}\) 在 \(A\) 进制小数下的循环节位数（如果是纯循环小数才求，否则输出 -1）（金老师原创）
思路：
设答案为 \(L\)，我们会得到 \(A^L \equiv 1\pmod p\)。
因为我们去模拟除法就会发现出现循环节意味着出现 \(1\)。
首先，若 \(A,P\) 不互质就无解。
否则，输出最小的 \(L\) 满足 \(A^L \equiv 1 \pmod p\)。根据结论，\(L| \varphi(p)\)，枚举即可。
题目2： 求证：\(n \ge 1\) 时，\(2^n \not\equiv 1 \pmod p\)。（《具体数学》第四章 题46）
证明：
考虑 \(n\) 的最小素因子。
不妨设 \(n=pq\)，其中 \(p\) 是 \(n\) 的最小素因子。
如果 \(p=2\)，结论显然成立。
反证法，假设存在 \(n\) 使得 \(2^n \equiv 1 \pmod p\)。
我们在模 \(p\) 的意义下看一下上式：\((2^p)^q \equiv 1 \pmod p\)。
根据费马小定理，\(2^{p-1}\equiv 1 \pmod p\)。
所以我们可以得到：\((2^p)^q\equiv 2^q \equiv 1 \pmod p\)。
根据之前欧拉定理的结论，我们知道必然有 \(p-1|q\)。
而 \(q|n\)，所以 \(p-1|n\)。
说明 \(p-1\) 是比 \(p\) 更小的 \(n\) 的因子，与 \(p\) 的最小性矛盾！
所以命题得证。
题目3： 给定 \(b, p, n\)，求 \(1 \sim n\) 中有多少数 \(x\) 满足 \(x^{x!} \equiv b \pmod p\)。\(b,p\le 10^8,n \le 10^{18}\)
思路：
如果 \(x < \varphi(p)\)，我们可以直接枚举检验，复杂度 \(O(p)\)。
否则，\(x^{x!}\equiv x^{x! \bmod \varphi(p)+\varphi(p)}\)，又因为 \(x \le \varphi(p)\)，所以 \(x! \bmod \varphi(p)=0\)。
所以 \(x^{\varphi(p)} \equiv b \pmod p\)，我们枚举 \(p\) 的完全剩余系看看 \(x\) 模 \(p\) 余几时是可以的，然后计算一下 \(n\) 以内这样子的数的个数即可。
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