正项级数比较审敛法@衍生方法@极限审敛法

文章目录

• 依赖已知敛散性级数的正项级数审敛法

• 比较判别法

• 朴素比较法
• 极限形式

• 证明

• 极限审敛法

• 证明

• 应用

• 朴素比较法实例
• 极限形式比较法求解
• 极限审敛法例

依赖已知敛散性级数的正项级数审敛法

• 这部分讨论的级数都是正项级数
• 以下审敛法都只对正项级数适用,因此交错级数不适用

比较判别法

朴素比较法

• 此方法是最原始的比较判别法,其具有衍生形式,一般会更方便
• 对于2个正项级数级数:=,=

• 如果有:

• 发散发撒
• 收敛收敛

• 比较判别法就是利用已知级数的敛散性来判断未知(但是有一定关系)级数的敛散性
• 知道的已知模型越多,比较判别法越管用

极限形式

• 对于2个正项级数级数:=,=
• 若:(1)

1. ,与有相同的敛散性
2. 收敛收敛(分母跑的快都会收敛,则跑得慢的分子也收敛)
3. 发散发散(分母跑的慢都会分母发散,则跑得快的分子也发散)

证明

• 由条件(1)和极限定义可知,,,s.t.当时有或(2)
• 结论1

• 无妨取,则式(2)变为(3),进一步变形为(4)
• 当时,根据比较审敛法,,有相同的敛散性

• 若收敛,则由(4-1)可知,也收敛
• 若发散,则由(4-2)可知,也发散
• 若收敛,则由(4-2)可知也收敛
• 若发散,则由(4-1)可知,也发散

• 综上,时,有相同的敛散性

• 结论2

• ,取,代入(2),得,又正项级数,即
• 由比较审敛法,收敛,就有收敛

• 结论3:

• 由无穷大和无穷小的关系:可推出(5)
• 若级数收敛,由结论(2),知收敛(6)
• 命题(6)是真命题,并由其逆否命题可知,若发散,必发散

• 小结:

• 注意分母
• 用特殊函数带入可以帮助理解记忆:

极限审敛法

• 这是极限形式的比较审敛法的推论(特例),可以不用记忆
• 将正项级数和级数作比较,可以得到实用上比较方便的极限审敛法
• 设=是正项级数

1. 若(包含的情形),则级数发散
2. 对于,若,,则级数收敛

• 这类方法适合在被判断级数的通项因子存在已知等价无穷小的情形,此时通过替换等价无穷小简化计算

证明

• 在极限形式的比较审敛法中,

1. 取;则由调和级数发散,可知结论1成立
2. 取,当时,级数收敛,可知结论2成立

应用

• 对于所给的级数,观察其是否形似或接近两个重要模型,通过放缩和比较法,判断所给级数的敛散性

朴素比较法实例

• 分析通项的分母,是一个对三次多项式开根号的式子,其量级相当于,,推测其收敛

• 这类推测是考虑放缩所进行的

• 因此考虑对其放大说明收敛
• =,根据级数的结论,给级数是收敛的

• 同样考虑到分母的量级是,推测其发散,用比较法就要缩小,例如将通项缩小为,缩小后的发散,缩小前也发散,所以本级数发散

极限形式比较法求解

• 上面两个例子使用极限法更加简单
• 例如,=,可以见,原级数和级数同敛散性,而后者是收敛的,因此前者也是收敛的

• 这里我们就不需要了放缩步骤

极限审敛法例

• 判定级数的收敛性

• 解:考虑到,
• ==,因此由极限审敛法,级数收敛

• 判定的收敛性

• 令=
• 考虑到
• ==
• 而=是的量级,因此考虑===
• 因此,由于极限审敛法,级数收敛