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傅里叶级数公式及其收敛问题

时间:2023-12-13 15:03:05浏览次数:28  
标签:系数 周期 级数 公式 收敛 傅里叶



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    傅里叶级数公式及其收敛问题_公式


    abstract

    • 傅里叶级数公式及其收敛问题
    • 介绍周期为傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_02的情形下,函数的傅里叶级数公式
    • 至于一般周期,可转化为傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_02周期进行讨论,并得出相应公式(另见它文)

    函数展开成傅里叶系数

    • 傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_04是周期为傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_02的周期函数,且能展开为三角级数式(6),即傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_04=傅里叶级数公式及其收敛问题_公式_07
    • 这就产生了一个重要问题,如何计算式(6)中的系数傅里叶级数公式及其收敛问题_公式_08,或说确定傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_09关于傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_04的表达式
    • 上述两个系数称为傅里叶系数

    傅里叶系数

    • 利用三角函数系的正交性质等式组,并结合积分计算,可以得出傅里叶级数展开公式的系数公式
    • 傅里叶级数公式及其收敛问题_公式_11(7)
    • 傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_12(8)
    • 式(7)可以并入式(8),因为当傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_13时,式(8)恰好是式(7)
    • 傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_14(9)
    • 具体的推导过程如下
    • 首先求傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_15的公式
    • 再求傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_16的公式
    求解傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_17
    • 假设上式右端级数可以逐项积分,则:
    • 傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_18
    • 上述计算中用到正交性质:傅里叶级数公式及其收敛问题_公式_19;傅里叶级数公式及其收敛问题_公式_20
    • 即得式傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_21,即(7)
    求解傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_22
    • 对式(6)两边同时乘以傅里叶级数公式及其收敛问题_公式_23
    • 傅里叶级数公式及其收敛问题_公式_24=傅里叶级数公式及其收敛问题_公式_25
    • 两边做区间傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_26上的积分:
    • 傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_27
    • =傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_28+傅里叶级数公式及其收敛问题_公式_29
    • =傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_30
    • =傅里叶级数公式及其收敛问题_公式_31=傅里叶级数公式及其收敛问题_公式_32
    • 可得傅里叶级数公式及其收敛问题_公式_33=傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_34,傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_35,即式(8)
    • 傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_36时,式(8)恰好为式(7)
    求解傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_37
    • 类似于傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_38的求解过程,对式(6)两边同时乘以傅里叶级数公式及其收敛问题_公式_39,得
    • 傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_40=傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_41+傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_42
    • 类似于傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_38的求解过程,对式(6)两边同时乘以傅里叶级数公式及其收敛问题_公式_39,得
    • 傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_40=傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_41+傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_42
    • 再对两侧求傅里叶级数公式及其收敛问题_公式_48傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_49积分,得:
    • 傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_50=傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_51 傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_35,即式(9)
    小结
    • 傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_53
    • 傅里叶级数公式及其收敛问题_傅里叶级数_54,傅里叶级数公式及其收敛问题_公式_55,傅里叶级数公式及其收敛问题_三角函数_56称为傅里叶系数

    傅里叶级数

    标签:系数,周期,级数,公式,收敛,傅里叶
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