傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换

标签：infty frac 变换 拉普拉斯 omega int mathcal 傅里叶

简单总结一下几个变换的性质，主要为了形成体系，具体的推导过程可以查阅参考书。

Fourier Transform

1. 定义

对于一个周期函数，有复数形式的傅里叶展开，即

\[f_{n}(t) = \sum\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f_{n}(t)e^{-jn\omega t}dt \cdot e^{jn\omega t} \]

当\(T\to\infty\)的时候，\(\omega\to0,f_{n}(t)\to f(t)\)，此时，令\(\omega_{n} = n\omega, \Delta \omega = \omega\)
有：

\[f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-T}^{T}\sum\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega_{n}t}dt\cdot e^{j\omega_{n}t}\Delta \omega = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\cdot e^{j\omega t}d\omega \]

则定义：
傅里叶正变换

\[\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt \]

傅里叶逆变换

\[\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega \]

存在条件：满足狄利克雷条件，即：1. 在区间上只有有限个第一类间断点，2. 在区间上有有限个极值点。 并且满足函数在区间上绝对可积。

2. 性质

1. 线性
   满足可加性和其次性

2. 位移性

\[\mathcal{F}[f(t-t_{0})] = e^{-j\omega t_{0}}F(\omega) \]

\[\mathcal{F}^{-1}[F(\omega-\omega_{0})] = e^{j\omega_{0}t} f(t) \]

3. 相似性

\[\mathcal{F}[f(at)] = \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a}) \]

4. 对称性

\[\mathcal{F}[F(t)] = 2\pi f(-\omega) \]

5. 微分性
   关于原函数的微分定理

\[\mathcal{F}[f^{(n)}(t)] = (it)^{n}F(\omega) \]

关于象函数的微分定理

\[\mathcal {F^{-1}}[\frac{d^{n}}{d\omega^{n}}F(\omega) ]= (-it)^{n}f(t) \]

6. 积分性
   关于原函数的积分定理
   取上面微分定理n=-1即可

3. 脉冲函数（狄拉克函数）

定义这样一个函数\(\delta(t)\)，满足：
1.

\[\delta(t) = \left \{ \begin{matrix} +\infty &t=0 \\ 0 &其他 \end{matrix} \right. \]

\[\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)=1 \]

有如下性质：
1.

\[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t) = f(0) \]

\[\mathcal{F}[\delta(t)] = 1 \qquad \qquad \]

4. Parseval 定理

暂时用不上，先占个位，毕竟我不是搞这个方向的。

5. 卷积

1. 时域卷积定理

时域卷积=频域相乘，即：

\[\mathcal{F}[f_1(t)*f_{2}(t)] = F_{1}(\omega)\cdot F_{2}(\omega) \]

2. 频域卷积定理

频域卷积=2\(\pi\)时域相乘，即：

\[F_{1}(\omega)*F_{2}(\omega) = 2\pi \mathcal{F}[{f_{1}(t)f_{2}(t)}] \]

Laplace Transform

由于傅里叶变换存在条件有些严苛，假设我们只需要满足当t>0时才有值，并且对于该函数在t>0部分不超过一个指数函数，则我们就有Laplace变换

1. 定义

\[\begin{aligned} \mathcal{F}[f(t)] &= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)u(t)e^{-\alpha t}e^{-j\omega t}dt \\ &=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-(\alpha+\omega )t}dt \end{aligned} \]

定义 \(s = \alpha + \omega\)，则有：

\[\mathscr{L}[f(t)] = \int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt \]

同理，一样有拉普拉斯逆变换

2. 性质

由于拉普拉斯变换可由傅里叶变换推出，故拉普拉斯变换有绝大多数傅里叶变换的性质

1. 线性
2. 位移性

\[\mathscr{L}[f(t-t_{0})] = e^{-st_{0}}F(s) \]

\[\mathscr{L^{-1}}[F(s-s_{0})] = e^{s_{0}t}f(t) \]

3. 微分性
   原函数的微分

\[\mathscr{L}[f^{(n)}(t)] = s^{n}F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0)-\cdots -sf^{(n-1)}(0)-f^{(n-1)}(0) \]

象函数的微分

\[\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s) = (-1)^{n}\mathscr{L}[t^{n}f(t)] \]

4. 积分性
   原函数的积分

\[\mathscr{L}\left[\int_{0}^{t}dt\int_{0}^{t}df\cdots\int_{0}^{t}f(t)dt\right] = \frac{1}{s^{n}}F(s) \]

象函数的积分

\[\mathscr{L}^{-1}\left[ \int_{s}^{\infty}ds\cdots\int_{s}^{\infty}F(s)ds \right]= \frac{f(t)}{t^{n}} \]

5. 终值定理

\[f(+\infty ) = \lim_{t\to0}sF(S) \]

6. 初值定理

\[f(0_{+}) = \lim_{t\to+\infty }sF(s) \]

7. 逆变换求法

\[\mathscr{L}[F(s)] = \sum\limits Res[e^{st}F(s),s_{k}] \]

从这开始我们将进入离散数据变换，即对模拟信号的采样，也就是数字信号

z Transform

1. 定义

对于一个数字序列\(x(n)\)

\[X(z) = \mathscr{Z}[x(n)] = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)z^{-n} \]

2. 收敛域

对于该序列，我们收敛条件是其绝对可和，即：

\[\sum\limits_{-\infty}^{\infty}|x(n)z^{-n}|<\infty \]

3. 求z逆变换

1. 如果复变函数你学的比较好，可以直接利用间接法将其用洛朗级数展开，其中的收敛域就是对应的收敛域。
2. 留数法：
   假设有：

\[X(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} \]

两边同时乘以 \(z^{k-1}\)，并对其进行积分，其中积分路径是其收敛域内一条封闭曲线
即：

\[\oint_{c}X(z)z^{k-1}dz = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x(n)\oint_{c}\frac{1}{z^{n-k+1}}dz \]

根据柯西积分公式，只有n=m时右式才不等于0，即有：

\[x(k) = \frac{1}{2\pi j} \oint_{c}X(z)z^{k-1}dz \]

即为：

\[x(n) = \mathscr{Z}^{-1}[X(z)] = \frac{1}{2\pi j}\oint_{c}X(z)z^{n-1}dz \]

根据留数定理有：

\[x(n) = Res[X(z)z^{n-1}, z_{k}] \]

3. 看了大部分网络上以及课本上面的因式分解法，实际上就是将原本复杂分式形式的系统函数分解成几个简单形式的分数之和，在利用一些常见函数的z变换还有一些性质反推回去，仅此而已。

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