常数项级数@交错级数@绝对收敛@条件收敛

文章目录

• 交错级数

• 莱布尼兹定理(准则)

• 证明

• 应用

• 例

• 任意项级数

• 绝对收敛
• 条件收敛
• 例
• 绝对收敛定理

• 证明
• 拓展

• 推论
• 绝对值级数的发散问题
• 例

• 绝对收敛性质

交错级数

• 若级数的各项符号正负交错(或负正交错),即(1)或(1-1),,则此类级数称为交错级数
• 非标准交错级数:若某级数第一项是负项的负正相间级数,那么可以从第二项开始考虑(前1项)不影响整体级数的敛散性

莱布尼兹定理(准则)

• 若交错级数=(0)满足

• (0-1),,(即是递减的,但不要求严格递减)
• (0-2),(级数收敛的必要条件)

• 则

• 级数收敛,且(0-3),(给出级数收敛的结论,并且给出收敛值的取值的上界)
• 余项满足(0-4)(给出了用级数的前项和估计级数的收敛值差生的误差上界)

证明

• 为了便于讨论,将级数(1)展开写:=(2)

• 式(2)的最后一项的正负号去解决于的正负

• 现在考虑,即前项和,最后一项可以确定;

• =(3)
• 通过加括号,可以写成2中形式

• =(3-1),加形式
• =(3-2),减形式

• 由条件(0-1)可知,

• (3-1)中每个括号都是非负的,从而数列随递增(4-1)
• (3-2)中每个括号都是非负的,最后一项是正的,因此(4-2)

• Note:(3-2)看似递减,但通过做差=,可以看出是递增的而不是递减的

• 从而由(4-1,4-2),数列单调有界必有极限可知时,(4-3),且

• Note:虽然取不到,但是极限值可以是,并不矛盾,例如,虽然,但是时的极限就是

• 再考虑的极限

• =(5)
• 由条件(0-2),==+==(6)
• 由(4-3)和(6)知级数的前偶数项和奇数项的和趋于同一个极限,所以级数(0)的部分和=当时具有极限

• 综上,这就证明了级数(0)收敛于,且,即(0-3)
• 余项

• 的末尾项正负号依赖于的奇偶性
• 可以将余项表示为=(7);(当为偶数取正号,否则取负号)
• 考虑到条件(0-1),对(7)两边取绝对值,=(8)
• 显然(8)式也是一个交错级数,同时继承了条件(0-1,0-2),因此也满足收敛条件,从而可以对级数(8)应用结论(0-3),

应用

例

• 例如交错调和级数:=(0-0)

• 这里=,
• 该级数满足来Leibniz定理的2个条件,因此级数收敛
• 设其收敛于,则可确定
• 若取级数的前有限项和估计级数的收敛值,则根据Leibniz定理,产生的误差

• (0-1)

• =,递减
• 
• 因此任意交错级数都是收敛的,且收敛值

任意项级数

• 设级数=(1),其中为任意实数(不一定是正数)
• 级数(2)是级数(1)各项取绝对值后的正项级数,不妨称(2)为(1)的绝对值级数

绝对收敛

• 若级数(1)各项的绝对值构成的正项级数(2)收敛,则称级数(1)绝对值收敛

条件收敛

• 若级数(1)收敛,但是级数(2)不收敛(发散),则称级数(1)条件收敛

例

• 级数,即级数,是绝对值收敛的,
• 而是条件收敛

绝对收敛定理

• 若级数绝对收敛,则本身收敛

证明

• 考虑到任意实数满足= ,即,且
• 构造新级数:令=(1),显然且(2),
• 因为级数收敛,由比较审敛法,级数收敛(3),从而级数也收敛(3-1)
• 而由(1),可知=,即(4),由级数收敛的基本性质可知=也是收敛的
• 证毕

拓展

• 事实上,=(1)

• 令==(1-1),则(1-2)

• 类似的,=(2)

• 令==(2-1),则(2-2)

• 对于=(3)

• ==(3-1),则(3-2)

• 级数相当于把中的负项替换为0得到,也就是由的全体正项构成的正项级数
• 级数为级数中全体负项的绝对值构成的正项级数
• 级数为级数中全体负项构成的负项级数,并且=(4),而相差常数倍的级数敛散性相同,后面仅需要讨论,

推论

1. 若绝对收敛,即收敛,则,,都收敛

• 由(1-2),(2-2)应用比较审敛法可得此结论

2. 若条件收敛,即收敛但发散,则,,都发散

• =收敛

• ,要么都是收敛的,要么都是发散的,而不可能有不同的敛散性,否则等号右边不可能收敛

• =发散

• 显然等号右边2个级数不可能都收敛,至少有一个发散,否则等号右边就是发散的

• 综上,,都是发散的,由(4)可知也发散

3. 条件收敛的级数所有正项(或所有负项)构成的级数一定发散

绝对值级数的发散问题

• 一般来说,若绝对值级数(1)发散,无法推出取绝对值级数(2)也发散
• 但有两类情形是可以保证(1)发散可推出(2)发散

• 即(1)发散的结论是由比值审敛法或根值审敛法判断出来的,那么可以推出(2)
• 即级数(1)发散这一结论是来自于(3)或(4),则可以推出(2)发散
• 即(3)或(4)的前提下,都可以推出(2)发散

• 因为(3)或(4)的条件可推出(5),从而不满足(2)收敛的必要条件,从而级数(2)发散(关于(5)的证明可回顾比较审敛法或根值审敛法的证明,推出通项是递增的,由极限的保号性可推出(5))

例

• 判定的收敛性

• 考虑其通项的绝对值:

• 由三角函数的有界性:,有
• 而级数收敛,从而也收敛,从而收敛

• 判定收敛性

• 该级数是交错级数

• 考虑莱布尼兹定理或绝对收敛或发散定理;

• leibniz定理给出了收敛的充分条件,无法用于判定级数必定发散的情形,并且需要判定递减和通项极限趋于0
• 考虑到所给级数通项中=适合开方根

• 无论哪种思路,都要考虑通项的绝对值,这里考虑适用后者
• 令=,这是通项的绝对值
• 则=
• 由绝对值级数的发散定理,所给级数发散

绝对收敛性质

• 绝对收敛级数具有可交换性

• 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛,且与原级数有相同的和

• 设级数,都绝对收敛,其和分别为,则它们的柯西乘积

• ++++
• 也是绝对收敛的,其和为