文章目录
- abstract
- 正弦级数和余弦级数
- 周期延拓
- 奇偶延拓
- 对延拓函数做区间限制
- 小结
- 偶延拓方法
- 奇延拓方法
- 例
abstract
- 傅里叶级数@正弦级数和余弦级数@奇偶延拓和周期延拓
正弦级数和余弦级数
- 奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数
- 偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数
- 准确来说,是傅里叶系数的
为0就是正弦级数,而不要求最终级数的形式中包含正弦函数;余弦级数类似
周期延拓
- 若函数
定义在
,我们可以在
或
外的区间(即
或
)补充函数
的周期函数
,称为周期延拓
- 这里
和
的写法的区别在于每个区间的端点处的定义
- 当
在
,
时有间断点(比如第一类间断点)时,就有明显的区别
奇偶延拓
- 在实际应用中,有时还需要把定义在
上的函数
- 设函数
内补充定义,得到定义在
上成为奇函数(偶函数)
- 按照上述方法拓广函数的定义域的过程称为奇延拓(偶延拓)
- 将延拓后的函数展开成傅里叶级数,这个级数必然是正弦级数或余弦级数
对延拓函数做区间限制
- 再限制
,此时
,便得到
小结
- 奇延拓(偶延拓)是先将非奇函数(偶函数)拓广成单个周期内的奇函数(偶函数)
- 而周期延拓在已经是奇函数(偶函数)的基础上,将定义域拓广到任意更多周期
偶延拓方法
- 对于偶函数
,它的图形关于
轴对称
- 若
的定义域为
,且关于
,
- 我们有结论
;
的定义域为
,(这里假设函数连续,否则要考虑间断点或者分段函数分段点)
- 例如
,则
- 结论可由函数图形变换性质得出
- 或由点坐标法得出:
的对称点为
,
满足
,即
奇延拓方法
- 对于奇函数
- 若
,
- 我们有结论:
- 结论的推导:根据函数图形翻折知识,可知,得到图形关于原点对称的图形有两种方法
- 方法1:二次翻折法:可通过2步骤完成:
- 将
的图像关于
轴对称,得到
- 在将
关于
对称,得到
- 方法2:点坐标对称法,直接获得欲求函数
- 设
为函数
关于原点的对称点坐标为
- 而
在
的图形上,所以
,从而
- 这就是说,
,定义域为
例
- 例如,对于
,
,求它展开成的正弦级数和余弦级数
- 分析:对
- 展开成正弦级数:
- 将
=
,
;
=
,
- 再对
做周期延拓,得到
,
满足收敛定理条件,
在
,
处间断
上
在
上收敛于
- 周期奇函数的性质可知,其傅里叶系数
=0,
=
=
- 使用2次分部积分,可得
=
- =
=
- =
;
=
,
=
- 该式就是对延拓函数
做区间限制,即得
的正弦级数展开
- 它是一个奇函数或者偶函数
- 定义域是一个周期,
- 展开成余弦级数
- 为此对函数
,
- 再作
- 在
上,
,所以它的傅里叶级数
在
,
=
=
=
=
=
=
,
- 所以
+
,