文章目录
- 级数定义
- 敛散性
- 余部
- 级数的性质
- 基于定义的重要的基础级数模型
- p级数
- 几何级数
- 正项级数收敛定理
- 审敛法
- 正项级数两大类审敛法的比较
级数定义
- 设有数列
- 前
项和为
- 无穷级数:
- 简单理解是就是无穷个项累加和的
的极限
- 有时候,级数也直接简写作:
敛散性
- 收敛:如果S存在,那么称级数收敛
- 发散:如果S不存在,那么级数发散
余部
- 如果级数收敛于
,即,
就是级数的余部
级数的性质
- 对于任意级数(不一定是正项级数)都有以下性质(这些性质根据级数的定义和收敛定义容易证明)
- 设
为非零常数,则
与
同敛散
- 若
分别收敛于
,则
=
收敛于
- 即,两个收敛级数可以逐项相加也可以逐项相减,构成的级数仍然收敛
- 收敛级数之和仍然收敛
- 收敛级数和发散级数的和是发散的
- 发撒级数之和的可能收敛也可能发散
- 去掉或改变级数的有限项不影响级数的敛散性
- 收敛级数加括号后仍然收敛,且和不变
- 通过构造新数列来证明
- 设原级数为
=
,记其前
项部分和为
=
,并设该级数收敛于
- 对该级数不改变各项次序而插入加括号(每个括号内包含至少一项,并使每个元素都位于某一个括号内)后得到另一新级数
=
+
+
+
- 第
个括号记为
=
- 记新级数前
项部分和为
=
- 则
=
,
=
;
;
=
,
- 数列
是
的一个子数列
- 而由数列收敛于
其子数列必也收敛于
=
=
- 证毕
- 加括号后收敛的级数本身不一定收敛,例如
=
(1)并不收敛
=
;
是:
这是个发散的数列,因此级数
发散
- Note:另一方面,通项
的极限不为0,也能说明
- 现在对级数
=
(2)收敛于(得到的新级数为
=0,通项极限为0,数列收敛)
- 级数(2)收敛,去括号后的级数不收敛(发散);因此加括号后的数列收敛不能说明,去括号后仍然收敛
- 级数
收敛的必要条件是
- 利用
的两边取极限证明
- 设级数
收敛于
,级数的部分和
- 而
=
=
=
=
推不出级数
收敛,例如调和级数
发散
基于定义的重要的基础级数模型
p级数
=
发散
- 当
时,称为调和级数(发散),其证明使用定义证明
- 当
时
,由比较法,此时级数发散
收敛
- 抽象出函数
=
,是个递减函数
- 我们用积分判别法来证明(用连续的工具解决离散的问题)
- 其证明可以借助定积分的定义:
=
,其中积分式计算
区间内曲边梯形的面积,这个数值是大于分割的
个小矩形面积之和
- 小区间内
(0),时
(1) - 对(1)两边作区间
上的定积分,有
=
- 求和:
=
=
=
=
=
- 而
,所以
- 又
,从而
关于
,
- 从而
,
- 因此
有界,因此级数收敛
几何级数
收敛,且收敛于
发散
正项级数收敛定理
- 正项级数
收敛的充要条件是它的部分和数列
有界
- 基本原理是**单调有界数列必有极限(收敛)**准则
- 由于正项级数的部分数列必定是单调增加的,从而上述收敛结论是显然的
审敛法
- 上述定理可推导出一系列判别正项级数收敛或发散的法则(称为审敛法)
- 常数项级数分为正项级数和交错级数
- 正项级数的审敛法主要由2大类和4小类
- 交错级数主要考虑Leibniz准则
- 任意项级数考察绝对收敛
正项级数两大类审敛法的比较
- 两类正项级数审敛法另见它文,这里作一个方法上的比较和总结
- 正项级数级数自身通项的审敛法@比值判别法@根值判别法
- 正项级数比较审敛法@衍生方法@极限审敛法
- 比较审敛法是使用不方便但是适用范围广
- 而比值和根值审敛法是适用方便但是适用范围窄
- 而一般情况先考虑后者(含有
的情形)
- 并且带有
的适用比值审敛法;其他情形适用根值审敛法往往更方便
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