第二类曲线积分@对坐标的曲线积分

标签：第二类弧段函数积分曲线坐标

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第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分

abstract

第二类曲线积分,即对坐标的曲线积分

对坐标的曲线积分

变力沿曲线所做的功

力是矢量,具有方向属性,从便利沿曲线做功的问题抽象出第二类曲线积分的定义
变力的表示:这里用向量的坐标分解式表示力
设一个质点在 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_02$ 面内受到力 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_03$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_04$ (0)的作用,从点 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_05$ 沿光滑曲线弧 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_06$ 移动到点 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_07$ ,其中函数 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_08$ 和 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_09$ 在 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_06$ 上连续

质点 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_11$ 从位置点 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_12$ 的过程中位置坐标记 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_13$ ,每个位置对应的力为 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_14$ ,这就是函数 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_15$ 和曲线弧 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_16$ 的关系;这里假设曲线弧 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_16$ 时光滑的
而函数 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_18$ 在曲线弧 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_16$ 上连续保证了 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_16$ 上的任意位置 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_13$ 都有连续(不会出现无定义的情况或突变)

现在问题是计算上述移动过程中 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_22$ 所做的功

平均功(恒力做功)

一种最简单的情形是 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_23$ 为恒力,且质点从 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_24$ 沿直线移动到 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_25$ ,那么恒力 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_26$ 所做的功 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_27$ 为向量 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_23$ 与向量 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_29$ 的数量积,即 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_30$ (1)
恒力:可以令式(0)中的 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_31$ 取得一组确定得值 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_32$ ,即 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_33$

变力做工

现在 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_34$ 是变力,且质点沿的是曲线移动,功显然无法直接按照式(1)计算
这里可以采用微积分的方法来合理的应用公式(1)于更一般的情形

弧段微分

先用曲线弧上的点 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_35$ , $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_36$ , $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_37$ , $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_38$ (2)把 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_16$ 分成 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_40$ 个小弧段
取其中一个有向小弧段 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_41$ 做分析

由于 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_42$ 光滑且很短,可以用有向线段 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_43$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_44$ (3)近似代替
其中 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_45$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_46$ , $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_47$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_48$ (3-1)

由于 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_08$ , $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_09$ 在 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_06$ 上连续,可以用 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_41$ 上任意曲定的一点 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_53$ 处的力 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_54$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_55$ (4)来近似代替这小弧段上各点处的力
这样变力 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_56$ 沿着有向小弧段 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_41$ 所做的功 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_58$ 可以近似地等于恒力 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_59$ ,沿着 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_60$ 所作的功:

$第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_61$ (5),即 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_62$ (5-1)

于是 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_63$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_64$ $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_65$ $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_66$ (6)
若用 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_67$ 表示 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_68$ 个小弧段的最大长度,令 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_69$ 取式(6)的极限,所得极限自然地被认为式变力 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_70$ 沿有向曲线段所做的功:

$第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_71$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_72$ (7)

这种和的极限在研究其他问题时也会遇到,将其抽象为第二类曲线积分

第二类曲线积分的定义

设 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_06$ 为 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_02$ 面内从点 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_75$ 的一条有向光滑曲线弧;函数 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_08$ 和 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_09$ 在 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_06$ 上有界

和第一类曲线积分中曲线的无向性相比,第二类曲线积分的曲线 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_16$ 强调有向

在 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_06$ 上沿 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_06$ 的任意方向插入点列 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_82$ ,把 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_06$ 分成了 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_68$ 个有向小弧段

$第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_42$ , $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_86$ ; $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_87$
设 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_45$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_46$ , $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_47$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_48$
点 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_92$ 为小弧段 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_42$ 上任意曲定的一点

作乘积 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_94$ , $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_95$ ;(1)作和 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_96$ ,(2)
若当各个小弧段长度的最大值 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_69$ 时,式(2)的极限总是存在,且于曲线弧 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_06$ 的分法和 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_53$ 的取法无关,则称此极限为函数 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_08$ 在有向曲线弧 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_06$ 上对坐标 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_102$ 的曲线积分,记为 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_103$
类似地,若 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_96$ 总是存在,且与曲线弧 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_06$ 的分法及点 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_106$ 的取法无关,那么称此极限为函数 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_107$ 在有向曲线弧 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_16$ 上对坐标 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_109$ 的曲线积分,记为 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_110$
综上有公式组:

$第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_111$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_112$ (3)
$第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_113$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_114$ (4)

两个积分称为第二类曲线积分
其中 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_08$ , $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_09$ 称为被积函数, $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_06$ 称为积分弧段

函数在曲线弧上连续

讨论第二类曲线积分时,总假定 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_118$ 在 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_119$ 上连续(第二类曲线积分总是存在)
函数 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_120$ 在曲线 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_119$ 上连续,应当是 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_120$ 在 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_123$ 上处处连续
严格地说,向量值函数函数 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_124$ 在曲线 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_119$ 上连续是指:

对 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_16$ 上任意点 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_127$ ,当 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_16$ 上的动点 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_129$ 沿 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_16$ 趋于 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_131$ 时,有 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_132$
若 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_14$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_134$ ,则 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_15$ 在 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_16$ 上连续等价于 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_137$ 与 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_107$ 均在 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_16$ 上连续

推广:空间曲线弧的第二类曲线积分

上述第二类曲线积分是在平面上定义的,可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_140$ 的情形:

$第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_141$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_142$ (5)
$第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_143$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_144$ (6)
$第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_145$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_146$ (7)

常用形式和简写

两个二类曲线积分的和的形式: $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_147$ + $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_148$ (8)可以简写为

$第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_149$ (9)

取消掉第二个积分号,而用一个积分号对两个被积表达式做二类曲线积分

或者写成向量形式: $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_150$ ,(10)

这里 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_151$ 都是向量, $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_152$ 表示向量内积,不省略
其中 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_153$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_154$ (10-1)为向量值函数
$第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_155$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_156$ (10-2)

类似地, $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_157$ + $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_158$ + $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_159$ 可以简写成

$第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_160$ (11)
或: $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_161$ ,

其中 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_162$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_163$ + $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_164$ + $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_165$ ;
$第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_155$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_167$

利用第二类曲线积分表示变力做功

讨论变力 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_23$ 做功时, $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_23$ 所做的功可以表示为式(8)或(9)或(10)

性质

线性性质:

设 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_170$ 为常数, $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_171$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_172$ + $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_173$ (1)

可加性:

若有向曲线弧 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_16$ 可分成两段光滑的有向曲线弧 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_175$ ,则: $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_150$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_177$ + $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_178$ (2)

反向弧性质:

设 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_179$ 是有向光滑弧, $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_180$ 是 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_179$ 反向曲线弧: $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_182$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_183$ (3)
证明:把 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_179$ 分成 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_185$ 小段,相应的 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_180$ 也分成 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_185$ 小段,对于每个小段弧,当曲线的方向改变时,有向弧在坐标上的投影,其绝对值不变,但是要改变符号,就得到(3)
此性质表明,当积分弧段的方向改变时,对坐标的曲线积分要改变符号,因此对坐标的曲线积分要区分积分弧段的方向
本性质是对坐标曲线积分特有的性质,对弧长的曲线积分不具有这类性质)
相应的,对弧长的曲线积分也有独占的性质(被积函数大小的性质 )

计算方法

第二类曲线积分仍然是转化为定积分计算
设 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_188$ 在有向曲线弧 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_06$ 上有定义且连续, $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_06$ 的参数方程为

$第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_191$
$第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_192$

当参数 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_193$ 单调地从 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_194$ 时,点 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_195$ 从 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_06$ 的起点 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_05$ 沿 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_06$ 运动到终点 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_07$ ,若 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_200$ 在以 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_201$ 为端点的闭区间上具有一阶连续导数,且 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_202$ (0)
则曲线积分 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_203$ 存在,且有公式 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_203$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_205$ (1)

证明

推导过程应用微分中值定理和一致连续性,以及连续函数性质,连续函数积分存在

对坐标 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_206$

在 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_119$ 上取一列点: $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_208$
设它们对应于一列单调变化(递增或递减)的参数值 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_209$ (2)
根据对坐标的曲线积分的定义(对坐标 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_210$ ): $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_147$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_212$ (3)
设点 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_213$ 对应于参数 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_214$ ,即 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_215$ , $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_216$ (4)这里 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_217$ 在 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_218$ 之间
由于 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_219$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_220$ (5)应用微分中值定理,式, $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_221$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_222$ , $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_223$ (5-1)介于 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_218$ 之间
将(4),(5-1)代入(3),于是式(3)可改写为 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_225$ (6)
因为函数 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_226$ 在区间 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_227$ 或 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_228$ 上连续,由一致连续性知识,可以把 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_223$ 替换为 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_217$ ,从而式(6)改写为 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_231$ (7)
式(7)的和的极限就是定积分 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_232$ (8)
由连续条件和连续函数的性质,被积函数 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_233$ 连续,因此积分式(8)存在,所以 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_147$ 存在,且 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_147$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_232$ (9)

对坐标 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_237$

类似上述推导,可证 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_148$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_239$ (10)

相加

将式(9,10)相加: $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_240$

= $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_241$
= $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_242$ + $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_243$ ,(11)

这就证明了公式(1)

积分限和曲线弧起止点

式(11)中,积分下限 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_244$ 对应于 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_119$ 的起点,上限 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_246$ 对应于 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_119$ 的终点

公式的应用

公式(1)或(11)表明,计算曲线积分 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_240$ 时,只需要将 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_249$ 依次替换为 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_250$
在处理有向弧 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_119$ 对应的参数:

从 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_16$ 的**起点所对应的参数值 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_253$ 到 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_179$ 的终点所对应的参数值 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_255$ **做定积分即可
这里 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_170$ 大小关系无限制, $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_253$ 不一定小于 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_255$ ,这和第一类曲线积分不同

公式的其他形式

若 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_119$ 有方程 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_260$ 或 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_261$ 给出,可以看作参数方程的特例
例如:当 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_119$ 有 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_263$ , $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_264$ 给出时(可以视为 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_265$ 或直接 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_266$ ,参数为 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_210$ ,公式(1)改写为 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_240$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_269$ (12)

$第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_270$ 分别对应 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_16$ 的起点和终点

推广

公式(1)可以推广到空间曲线 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_272$ 由参数方程 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_273$ , $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_274$ , $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_275$ 给出的情形
此时 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_276$ = $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_277$
$第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_201$ 分别对应 $第二类曲线积分@对坐标的曲线积分_第二类曲线积分_272$ 的起点和终点