AM@三重积分@直角坐标系上的计算

文章目录

• 三重积分
• 三重积分的计算
• 先一后二

• 投影方式
• 与边界曲面的交点多于2个的情形

• 先二后一
• 应用

• 例1
• 例1-1
• 例2
• 例3

三重积分

• 定积分和二重积分作为和极限的概念,可以推广到三重积分
• 三重积分的定义和二重积分类似,但是积分区域从平面闭区域,变为空间闭区域
• 同时,三重积分会更加抽象,更加偏形式化地推广自定积分和二重积分
• 设是有界闭区间上的有界函数,将任意划分为个空间小闭区域:其中表示第个小闭区域,也表示它的体积
• 在每个上任意取一点,这个点近似代表这个小区域(把它代入函数求得的值近似表示这个小区域整体的值,例如密度)

• 作乘积,,并作和
• 令,若,上述和式的极限总是存在,且与小区间分法和代表点的取法无关
• 那么称为函数在闭区域上的三重积分,记为

• =(1)
• 其中称为被积函数,称为体积元素,称为积分区域(空间区域)

• 被积表达式从而一元函数定积分,到二重积分,三重积分,分别为

• ,,
• 以直角坐标系为例,分别近似小曲边梯形面积,小曲顶柱体的体积,三元函数就抽象得多,更不容易从几何的角度描述,但仍然延续这种形式

• 可以和某些物理意义对应,例如体密度,体积和质量

• 若表示物体在点处的密度,是该物体所占的空间闭区域,在上连续,那么是该物体的质量的**近似值,**这个和当时的极限就是该物体的质量
• =(2)
• 三重积分的此种抽象便于研究和解决此类问题

三重积分的计算

• 三重积分的基本计算方法和二重积分类似,都是累次积分,即,三重积分化为次积分来计算
• 具体可以分为先一后二和先二后一法
• 在不同的坐标系中,计算公式有不同的表现形式

• 例如直角坐标系中,体积元素为(2-1)
• 在柱坐标和球坐标又有不同形式

先一后二

• 这里介绍先一后二(先单后重)的方法
• 简单的空间闭区间一般地可以描述为=

• 例如求球面是一类简单空间闭区域
• 这类简单空间区域满足:平行于坐标轴(轴)且穿过内部的直线和的边界曲面相交不多于2点
• 把闭区域投影到面上,得到一个平面闭区域

• 构造柱面

• 以的边界为准线作母线平行于轴的柱面,
• 这柱面与曲面的交线从中分出的上下两部分的部分曲面,分别表示为

• 其中都是上的连续函数,且
• 过内某一点作平行于轴的直线,此直线通过曲面穿入内,然后通过曲面穿出外,穿入点和穿出点的竖坐标分别为,这一步的意图在于看出的区间上的积分时要把视为常数,分别计算
• 将点一般化,过内任意一点作平行于轴的直线,此直线过内部,穿入点和穿出点的竖坐标分别为
• 这时,积分区域可表示为

• 该表示分别给出的范围,以及的平面区域范围,但不是的范围分别给出

• 先将看做定值,将只看做的函数,在的区间上对积分(定积分)

• 并且积分结果是的函数(在此次积分被消去了),记为,即=(3)

• 然后再计算在平面闭区域上的二重积分:=(4)
• 假设平面闭区域=
• 则式(4)化为二次积分,得到三重积分的计算公式(5)

• 
• 的积分区间都是标量区间,依次对以下区间进行积分

• 对于累次积分,每次积分都是对几个积分变量中的一个做定积分,并且会消去一个积分变量,降低原积分的重数

• 公式(4)将三重积分化为2次积分

• 即分解为一个二重积分和一个定积分

• 先定积分,后二重积分

• 公式(5)把三重积分化为三次定积分:先对,次对,最后对积分的三次积分

投影方式

• 上述情形将投影到上
• 若平行于轴或轴且穿过内部的直线和的边界曲面相交不多于2点,则也可以把闭区域投影到面上或面上
• 可见三重积分的积分顺序和二重积分类似,可能有不同的选择

与边界曲面的交点多于2个的情形

• 和二重积分的积分区域非,非型时采取的方法类似,就是通过积分区域分割,使得各个部分区域是满足交点不多于2点的要求,逐部分作三重积分再求和

先二后一

• 某些情形下,使用先一后二的方法不方便计算,二可以考虑用先二后一法
• 即先二重积分后定积分

• 空间闭区域=

• 是含的式子的不等式或等式
• 的取值范围是积分区域在轴上的投影(空间区域不仅可以做平面的投影,还可以做直线上的投影)
• 方法是令,即可解出的范围

• 公式为=(6)
• 其中是竖坐标为的平面,用垂直于轴的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域

应用

例1

• 由曲线和所围成的区域

• 曲线1:=,即,是一个球心位于坐标原点的球面的一部分,因为,所以这部分就是上方的半球面
• 曲线2:是一个旋转抛物面,可分别用三个坐标面截取可知
• 两个曲面所围成的区间在面上的投影可通过联立两直线消去得到

• 若直接降曲线1代入曲线2的左端,也就是说直接消去,得到

• 这个方程虽然是投影曲线的方程,但并不容易看出积分区域,因为方程次数较高,尝试用换元法降次
• 观察该式子,令,从而=,可以解出,由于,所以
• 观察曲线,可得,因此=

• 而应该将曲线2代入到曲线1:=,即,取正根的,即通过算出的值来间接消去;现在将代入曲线1或2,都可得出=

例1-1

• 由例1中的区域,计算=

• ===
• 该积分很适合用极坐标算积分区域表示为,==

例2

• 计算三重积分,其中是三个坐标面和平面所围成的闭区域

• 此处被积函数是,很简单的一元函数
• 空间闭区域图形分析:分别求得平面和坐标轴的交点:,,
• 将投影到平面上,得投影区域为三角形,=

• 平面上,直线以及

• 在内任意取点,过此点做平行于轴的直线,该直线过平面穿入内,然后通过平面穿出外,第一次积分表示为,被积函数为
• 再作在轴的投影(OA),对的区间做积分;在平面上的OA对应的的区间内取任意一点,做平行于轴的直线穿过,将边界曲线表示为的函数:,第二次积分表示为,被积函数为第一次积分的结果
• 最后对的区间(OA)作积分,第三次积分表示为,被积函数为第二次积分的结果
• =

• 第一次积分:===
• 第二次积分:===
• 第三次积分:==

例3

• 计算三重积分,其中是椭球面所围成的空间闭区域

• 椭球面和坐标交点:

• 令,则
• 令,则
• 令,则

• 如果要以三次积分的方式做,那么对于的区间,写起来费劲
• 如果采用二次积分,先做二重积分,再做一次定积分,则比较简单
• 用平面截空间的截面的边界为:=(1),这是一个椭圆,垂直于轴,其对应的平面区域为:
• 椭圆(1)的标准形为=,其面积为
• =
• =

• 其中==,这里相对于是常数,因此可以提出来,计算比较简单
• ==