文章目录
- abstract
- 对弧长的曲线积分
- 曲线形构件的质量
- 第一类曲线积分
- 曲线积分存在性
- 利用曲线积分的定义描述曲线形构件质量问题
- 推广
- 曲线积分可加性
- 闭曲线积分
- 曲线积分性质
- 曲线积分的计算方法
- 证明(部分推导)
- 小结
- 曲线弧显函数形式方程下的曲线积分公式
- 推广
- 例
- 例
- 例
abstract
- 在积分学中,积分范围先是从数轴上(直线)的一个区间的情形,推广到平面或看空间内的一个闭区域的情形
- 不仅如此,积分概念可以推广到积分范围为一段曲线弧或一片曲面的情形,分别称为曲线积分和曲面积分
对弧长的曲线积分
曲线形构件的质量
- 对弧长的曲线积分源自某些问题的研究,其中最经典的一个问题模型是曲线形构建的质量问题
- 在讨论定积分和二重积分时,分别对应曲边梯形面积问题和曲顶柱体的体积问题
- 而理解曲线积分时,用类似理解定积分时的几何的角度就不容易,也不太合适,而从物理意义角度就比较合适
- 通过对这个问题问题模型的抽象,定义出弧长的曲线积分(第一类曲线积分)
第一类曲线积分
- 定义:设
为
面内的一条光滑曲线弧,函数
在
上有界,在
,把
个小段
- 设第
小段的长度为
,又
为第
(0),,并作和式
(1) - 若当各个小弧段的长度的最大值
时,式(1)的极限总存在,切曲线弧
,即
(3) - 其中
- 而弧段元素
或
类似于定积分
中的区间元素
- Note:
为常数
为直线方程
曲线积分存在性
- 当
在光滑曲线弧
总是存在的
- 在讨论曲线积分时,我们总假定
- 函数在曲线上连续表示?(TODO)
利用曲线积分的定义描述曲线形构件质量问题
- 根据上述定义,曲线形构件的质量
当线密度
在
(4)
推广
- 上述曲线积分的定义是平面曲线积分,可以类似地推广到积分弧段为空间曲线
的情形,即函数
在曲线弧
=
(5)
可以表示空间中坐标为
的点处的密度(点附近小区域密度的代表值)
曲线积分可加性
- 若
- 例如设
以及
,记为
),就规定
=
+
(6)
闭曲线积分
- 若
曲线积分性质
- 由对弧长的曲线积分的定义可知,其具有如下性质(这些性质和定积分类似)
- 线性性
=
+
(7)
- 可加性
- 若积分弧段
,则
=
+
(8)
- 设
,则
(9)(10)
- 因为
- 改写成绝对值不等式即得证不等式
曲线积分的计算方法
- 定理:设
;
,
- 若
在
上具有一阶连续导数,且
,则曲线积分
,
(11)
证明(部分推导)
- 利用弧长公式,我们可以将第一类曲线积分化为定积分计算
- 弧长公式我们在定积分的应用中讨论过,
=
(12) - 令
(12-1)
- 假定当参数
由
变至
时,曲线弧
依点
运动至
,该过程描出曲线弧
- 在
- 设它们对应于一列单调增加的参数值
(这表明
)
- 根据对弧长的曲线积分的定义:
(即式(3))
- 设点
对应于参数值
,即
,
(13),这里,
- 记
在
,使用弧长公式(12),有
=
(14) - 由积分中值定理:
(15);其中=
,
于是
- Note:这里
有联系(都是
区间上的点),但并不相同
- 将式(13),(15)代入到式(3),于是
(16) - 由于函数(12-1)在闭区间
替换为
,从而式(16)写作式(11)
- 这一步要用到(12-1)函数在
上的一致连续性
- 式(11)等号右端是一个定积分式子,因为其被积函数在
上连续,所以这个定积分是存在的,因此式(11)等号左端
小结
- 公式(11)表明,计算对弧长的曲线积分
时,只要将
分别替换为:
- 然后做
上的定积分即可
曲线弧显函数形式方程下的曲线积分公式
- 若曲线弧
(17),给出,则可以把这种情况看作特殊的参数方程:(参数方程的简单情形)
,
,
(17-1)
- 将其代入公式(11),得
,
(18) - 类似地,若曲线弧
(19),给出
,
(19-1),
- 则
,
(20)
推广
- 若空间曲线
,
给出的情形,这时
=
例
- 计算
其中
上点
与
之间的一段弧
- 曲线
为参数的参数方程:
,
=
=
- 第一换元法:
=
=
=
=
例
- 若
,
,
=
=
- =
=
=
=
例
- 若
,
,
,
,求
=
=
- =
=
- 提取与
无关的因式
到积分号前
- =
- =