常规的双变量问题与隐零点
已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+a\ln x-4x(a>0)\)
\((1)a=3\)时，讨论\(f(x)\)单调性
\((2)\) 设\(f(x)\)有两个极值点\(x_1,x_2(x_1<x_2)，\)证明\(f(x_1)+f(x_2)>\ln a-10\)
解.
\((1)f^{\prime}(x)=x+\dfrac{a}{x}-4\)
\(a=3,f^{\prime}(x)=x+\dfrac{3}{x}-4=\dfrac{(x-3)(x-1)}{x}\)
进而\(f(x)\)在\((0,1)\)和\((3,+\infty)\)上单调递增，\((1,3)\)上单调递减.
\((2)\) \(f^{\prime}(x)=\dfrac{x^2-4x+a}{x}\)
要有两个极值点则\(\Delta=16-4a>0\)
即\(a<4\)，从而\(0<a<4\)
进而\(x_1+x_2=4,x_1x_2=a\)
\(f(x_1)+f(x_2)=\dfrac{1}{2}x_1^2+a\ln x_1-4x_1+\dfrac{1}{2}x_2^2+a\ln x_2-4x_2=\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)^2-x_1x_2+a\ln x_1x_2-4(x_1+x_2)=8-a+a\ln a-16=-8+a\ln a-a\)
则原不等式等价证明：
\[-8+a\ln a-a>\ln a-10 \]即证明：
\[(a\ln a-\ln a-a-2)_{\min}>0 \]记\(g(a)=a\ln a-\ln a-a+2\)
\(g^{\prime}(a)=\ln a-\dfrac{1}{a}\)单调递增
并且\(a\to 0,g^{\prime}(a)\to-\infty,a\to+\infty, g^{\prime}(a)\to+\infty\)同时\(g^{\prime}(4)=\ln 4-\dfrac{1}{4}>0\)
从而存在\(a_0\in (0,4)\)使得\(g^{\prime}(a_0)=0\)
因\(g^{\prime}(1)=-1<0,g^{\prime}(2)=\ln 2-\dfrac{1}{2}>0\)
从而\(a_0\in(1,2)\)
因\(g(x)\)在\((0,a_0)\)单调递减，\((a_0,4)\)单调递增
从而\(g(a)_{\min}=g(a_0)=a_0\ln a_0-\ln a_0-a_0+2\)
因\(\ln a_0=\dfrac{1}{a_0}\)
则\(g(a_0)=1-\dfrac{1}{a_0}-a_0+2\)
由对勾函数知
\(g(a_0)>0\)
得证. \(\square\)
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