深度插值的差错原因
当投影的图形与投影的平面不平行时，这时进行透视投影，从上图中可以看出，投影平面上的线段时均匀的，但是在原图形上的线段是非均匀的，这只是一个例子，但也可以看出投影会导致图形的变形，在我们利用重心坐标，进行深度插值时原空间中的重心坐标会发生变形，导致我们得到的深度不是正确的，这一点在对纹理坐标进行插值时尤其明显
透视深度插值公式推导
虽然在原空间与投影平面上的三角形可能发生变形，但是它们的重心坐标依然满足一定的关系：
投影平面：
\(1 = \alpha^{'} +\beta^{'} +\gamma^{'}\)
原空间：
\(1 = \alpha +\beta +\gamma\)
现在我们只有投影平面上三角形的bounding box中一个个像素点，我们想要得到这个像素点真实的深度值，假设一个像素点真实的深度值为\(Z\),三角形三个顶点真实的深度值分别为\(Z_{a},Z_{b},Z_{c}\)，我们对第一个式子进行恒等变形：
$\frac{Z}{Z} = \frac{Z_{a}}{Z_{a}}\alpha^{'} + \frac{Z_{b}}{Z_{b}}\beta^{'} + \frac{Z_{c}}{Z_{c}}\gamma^{'} $
进一步变换得到：
\(Z = (\frac{Z}{Z_{a}}\alpha^{'})Z_{a} + (\frac{Z}{Z_{b}}\beta^{'})Z_{b} + (\frac{Z}{Z_{c}}\gamma^{'})Z_{c}\)
我们对照原空间的深度重心插值公式：
\(Z = \alpha Z_{a} + \beta Z_{b} + \gamma Z_{c}\)
可以得到:
\(\alpha = \frac{Z}{Z_{a}}\alpha^{'}\)
\(\beta = \frac{Z}{Z_{b}}\beta^{'}\)
\(\gamma = \frac{Z}{Z_{c}}\gamma^{'}\)
我们再代入之前的第二个式子：
\(1 = \frac{Z}{Z_{a}}\alpha^{'} + \frac{Z}{Z_{b}}\beta^{'} + \frac{Z}{Z_{c}}\gamma^{'}\)
两边同时除以\(Z\):
$\frac{1}{Z} = \frac{1}{Z_{a}}\alpha^{'} + \frac{1}{Z_{b}}\beta^{'} + \frac{1}{Z_{c}}\gamma^{'} $
我们可以进一步考虑更一般的情况，对任意属性(uv坐标颜色法线等)使用重心坐标进行插值：
\(I = \alpha I_{a} + \beta I_{b} + \gamma I_{c}\)
\(I = Z(\alpha^{'}\frac{I_{a}}{Z_{a}} + \beta^{'}\frac{I_{b}}{Z_{b}} + \gamma^{'}\frac{I_{c}}{Z_{c}} )\)
games101中的错误
有了上述理论基础，我们再来看看games101中的实现：
auto[alpha, beta, gamma] = computeBarycentric2D(x, y, t.v);
float w_reciprocal = 1.0/(alpha / v[0].w() + beta / v[1].w() + gamma / v[2].w());
float z_interpolated = alpha * v[0].z() / v[0].w() + beta * v[1].z() / v[1].w() + gamma * v[2].z() / v[2].w();
注意在前面：
auto v = t.toVector4();
games101将一个三维向量拓展为四维向量，理论上一个像素点的坐标应该是(x,y,z,w)，其中x，y代表投影的xy坐标，z代表压缩之后的z值，一般在[-1,1]或者[0,1]或者[n,f]之间，w一般用于存储原空间真实的深度值，但是上述拓展默认将w设置为1，w存储的不是真实的深度值，因此：
float w_reciprocal = 1.0/(alpha / v[0].w() + beta / v[1].w() + gamma / v[2].w());
这一步使用的深度值是错误的
假如是正确的，其实这一步得到的w_reciprocal已经是正确的深度矫正值，也不需要在后面再求z值
但是最终结果我们也没有发现明显的错误，可以认为即使使用错误的深度值，对最终结果也影响不大
msaa与ssaa简要定义
MSAA：多重采样抗锯齿是一种选择性的抗锯齿技术，它在渲染图像时对特定部分进行多次采样。通常，它会对几何边缘周围进行多次采样，以减少锯齿状边缘的出现。
SSAA：超级采样抗锯齿是一种全局的抗锯齿技术，它通过在整个图像上进行更高分辨率的采样，然后缩放到目标分辨率，从而减少锯齿和增强图像的质量。
games101中ssaa的实现
ssaa实现的是更高分辨率的采样，为了实现这一点我们需要为每个采样点都维护深度表与颜色表，在对每个采样点进行覆盖检测以及深度检测之后，将采样点的颜色进行平均，设置为像素点颜色：
for(int x=min_x; x<=max_x; x++) {
for(int y=min_y; y<=max_y; y++) {
int eid = get_index(x,y)*4;
for(int k = 0; k < 4; k++){//遍历像素的每个样本
if(insideTriangle(x+a[k], y+a[k+1], v.data())){
//计算重心坐标
auto[alpha, beta, gamma] = computeBarycentric2D(x+a[k],y+a[k+1], t.v);
//矫正深度插值
float w_reciprocal = 1.0/(alpha / v[0].w() + beta / v[1].w() + gamma / v[2].w());
float z_interpolated = alpha * v[0].z() / v[0].w() + beta * v[1].z() / v[1].w() + gamma * v[2].z() / v[2].w();
z_interpolated *= w_reciprocal;
//如果此时深度值大于当前存储深度值，说明被遮挡了，不做处理
if (depth_sample[eid + k] < z_interpolated) {
continue;
}
//反之，更新当前深度值，对采样点进行着色
depth_sample[eid + k] = z_interpolated;
frame_sample[eid + k] = t.getColor();
}
}
Eigen::Vector3f p;
p << x, y, 1;
//平均四个采样点的颜色，简单的线性混合
Eigen::Vector3f color = (frame_sample[eid] + frame_sample[eid + 1] + frame_sample[eid + 2] + frame_sample[eid + 3])/4;
set_pixel(p, color);
}
}
games101中msaa的实现
msaa与ssaa类似，也是对四个采样点的颜色进行混合，也需要对采样点进行覆盖以及深度检测，不过不同的时，msaa会记录深度的变化，只有在深度发生变化，认为检测到边缘的时候，才会进行shading，并且不需要维护颜色表，减少了时间以及空间开销：
for(int x=min_x; x<=max_x; x++) {
for(int y=min_y; y<=max_y; y++) {
//使用msaa方法，统计像素覆盖率
int eid = get_index(x,y)*4;
//统计像素的覆盖率与深度变化
float count_coverage = 0,count_depth = 0;
for(int k = 0; k < 4; k++){//遍历像素的每个样本
if(insideTriangle(x+a[k], y+a[k+1], v.data())){
auto[alpha, beta, gamma] = computeBarycentric2D(x+a[k],y+a[k+1], t.v);
float w_reciprocal = 1.0/(alpha / v[0].w() + beta / v[1].w() + gamma / v[2].w());
float z_interpolated = alpha * v[0].z() / v[0].w() + beta * v[1].z() / v[1].w() + gamma * v[2].z() / v[2].w();
z_interpolated *= w_reciprocal;
//如果该采样点在三角形内，增加覆盖率的计数
count_coverage++;
if (depth_buf[eid + k] < z_interpolated) {
continue;
}
//如果该采样点的深度发生了变化，说明该像素分布在边缘，需要进行抗锯齿
count_depth++;
depth_buf[eid + k] = z_interpolated;
}
}
//如果该像素在边缘，需要进行抗锯齿
if(count_depth > 0){
int ind = get_index(x,y);
Eigen::Vector3f p;
p << x, y, 1;
//混合颜色
Eigen::Vector3f color = (count_coverage / 4)*t.getColor() +(1 - count_coverage/4)*frame_buf[ind];
set_pixel(p, color);
}
}
}