文章目录
- abstract
- Cauchy中值定理
- 分析
- 函数在参数方程形式下的largrage中值定理的表达形式
- 证明
- 对比Cauchy和Largrange中值定理中证明
- Cauchy中值定理和Largrange中值定理的联系
abstract
- 柯西中值定理及其和拉格朗日中值定理的联系
Cauchy中值定理
- 若两函数
和
满足:
上连续
内可导
,
- 那么在
内至少由一点
满足
=
(0)成立
- 若令
(0-1),则(0)作(0-2)
分析
- Cauchy中值定理涉及两个函数
- 而一个普通方程可以通过转换为参数方程,实现一个方程一分为二个密切相关的方程:
函数在参数方程形式下的largrage中值定理的表达形式
- 设函数
的某区间上的弧
由由参数方程
;
,
表示(定义),其中
为参数
- 设来连续曲线弧
轴的切线,则该弧上至少有一点
,该处切线平行于弦
- 点
坐标对应的参数分别为
,则它们的参数坐标分别为
,
- 由参数方程求导公式,曲线上的任意点
处的切线斜率为:
=
(1)
- 参数
处的导数(切线斜率)为
=
(1-1)
- 且弦
的斜率为
(2)
- 设点C对应于参数
,则曲线上的点
处的切线斜率满足:
=
;
证明
- 分析:将式(0-2)变形为
,
(3) - 构造
=
,式(0-2)可以写成:
,即
(3-1) - (3-1)形如Rolle定理的结论,考虑使用Rolle定理证明,只要证明了(3-1)成立,就证明了(0)式成立
- 其中
在和
一样都
- 在
上连续
- 在
内可导
- 如此,现在关键是判断
是否成立,如果成立,
=
=
=
=
- 可见,
=
- 综上,融合了
,得(3-1)成立,也就是(0)成立
- 从而Cauchy中值定理成立
对比Cauchy和Largrange中值定理中证明
- 两个定理证明的共同点在于引入辅助函数,在Cauchy,Largrange中值定理中引入的辅助函数为分别为:
=
=
=
=
比
更加抽象,但都(间接或直接)启发自定理的几何解释(前者是参数方程上运用Largrange定理启发;后者则是直接启发于几何意义)
Cauchy中值定理和Largrange中值定理的联系
- 当
时,
,
,从而公式(2))就可以退化成,
,整理:即
,
,这就是Largrange中值公式