abstract
- 麦克劳林公式及其近似表示的应用
- 误差估计和分析
Lagrange型泰勒公式的估计误差
- 由Lagrange型余项泰勒公式可知,多项式
近似表达函数
时,其误差为
=
,(
在
和
之间)
(R1)
误差估计式
- 若对于某个固定的
,当
邻域时,
(函数
在邻域
内局部有界),则可以估计误差的上限(记为
):
不一定是常数,可能是函数
- 例如
,其
=
- 进行不等式放大:
=
(0); - 该公式给出了估计误差的一个上限
麦克劳林(Maclaurin)公式
- 在Peano型泰勒公式中,
=
(1)
- =
+
+
- =
+
(2)
- 若取
则
- 带有Peano余项的Taylor公式表示为
=
+
- =
+
+
+
(3)
- 此时公式也称为:带有Peano余项的Maclaurin公式,
- 带有Lagrange余项的Taylor公式
=
,(
在
和
之间)
- 若令
,
,则
,
(R2)
- 即
=
(4)
麦克劳林近似公式
- Maclaurin多项式:
=
=
+
+
- Maclaurin近似公式:
- 此时,误差估计式写成
小结
- 被逼近函数=逼近函数+误差
- 被逼近函数可以用逼近函数
来估计,该估计的误差可以用
来估计
- 从余项和误差估计式可以看出,对于给定的泰勒公式
- 为了体现近似源
,用该公式中的
来估计
- 当
越大),则估计误差
越大:
- 为了提高精度,可以提高
的大小
- 因为误差式中有一个分母
阶乘的增长速度快于指数
(通过求极限可以证明,即使
不变,只要使得,
时,就有
,从而
)
- 泰勒公式
需要靠
来提高精度,而泰勒公式除了可通过
- 通过对一般的泰勒公式中的
取定为
,得到Maclaurin公式,该公式形式上和计算上比一般形式的泰勒公式更加简单,而且同样可以通过提高逼近阶数
来提高逼近精度
- 只要阶数够高(存在足够高阶的导数),Maclaurin公式做到任意精度的逼近(
,时误差的极限为0)
逼近公式的截断应用
- 方便起见,通常使用Maclaurin近似公式来作函数的近似表示和高精度估计,一般形式的Taylor公式比较少直接用来估计,Maclaurin公式简单
- 通常
例
的带有Lagrange余项的
n | ||
0 | 1 | |
1 | 1 | |
2 | 1 | |
1 | ||
|
=
+
+
+
- =
+
,
(1)
- 误差:
=
<
- 例如估算
,即
,由公式
- 此时误差为
,也可以更加保守,进一步放大误差上界
,当
时,可以得
,且保证其误差不超过