1. 分子为1的传递函数
例：
\[G(s)=\frac{1}{s^3+a_2s^2+a_1s+a_0} \]首先写成输入输出关系：
\[(s^3+a_2s^2+a_1s+a_0)Y(s)=U(s) \]对应的微分方程：
\[\dddot{y}(t)+a_2\ddot y(t)+a_1\dot y(t)+a_0y(t)=u(t)\\ \dddot{y}(t)=-a_2\ddot y(t)-a_1\dot y(t)-a_0y(t)+u(t)\\ \]令：
\[x_1=y,\ x_2=\dot y,\ x_3=\ddot y \]得到状态空间模型：
\[\begin{array}{l} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2 = x_3\\ \dot x_3 = -a_0x_1-a_1x_2-a_2x_3+u \end{array} \Rightarrow \begin{cases} \begin{bmatrix} \dot x_1\\\dot x_2\\\dot x_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\ -a_0&-a_1&-a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}u\\ y= \begin{bmatrix} 1&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix} \end{cases} \]模拟图：
2. 分子不为1的传递函数
例：
\[G(s)=\frac{b_2s^2+b_1s+b_0}{s^3+a_2s^2+a_1s+a_0}=\frac{b(s)}{a(s)} \]可以看成：
\[Y(s)=\frac{b(s)}{a(s)}U(s)=b(s)\left [\frac{1}{a(s)}U(s) \right ]=b(s)Y_1(s) \]对于
\[Y_1(s)=\frac{1}{a(s)}U(s) \]可直接写出
\[G_1(s)=\frac{1}{a(s)}=\frac{1}{s^3+a_2s^2+a_1s+a_0}\\ \Downarrow\\ \begin{cases} \begin{bmatrix} \dot x_1\\ \dot x_2\\ \dot x_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\ -a_0&-a_1&-a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0\\0\\ 1 \end{bmatrix}u\\ y_1=x_1 \end{cases} \]对于
\[Y(s)=b(s)Y_1(s)=b(s)X_1(s)=b_2s^2X_1(s)+b_1sX_1(s)+b_0X_1(s) \]可得
\[y = b_2\ddot x_1+b_1 \dot x_1 +b_0 x_1\\ y=b_2x_3+b_1x_2+b_0x_1 \]状态空间模型：
\[\begin{cases} \begin{bmatrix} \dot x_1\\ \dot x_2\\ \dot x_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\ -a_0&-a_1&-a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0\\0\\ 1 \end{bmatrix}u\\ y=\begin{bmatrix} b_0&b_1&b_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix} \end{cases} \]模拟图：
