标签：直线椭圆 ell dfrac 解析几何 AB 焦点

\(\boldsymbol{Analytic\ Geometry}\text{ II}\)

by djs.

latest update for I: 2023.07.03

latest update for II: 2023.09.26

构建思路

小题一般用几何。

下一步：列式方向、条件翻译、计算量预判、二级结论的应用。

二级结论有些乱还。

资料：

【本文结构】

General Solution
基本概念：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线
基本计算方式、列式方法
条件翻译
二级结论
常用模型

就这么多？吗？

\(\textsf{Pre-Part | General Solution}\)

\(\it 0.1\) 题型概述

所谓解析几何，即用代数运算与方程通过坐标系描述几何图形，虽有少量几何意义，但仍以代数运算为主。我们主要将几何条件转化为坐标、方程这样的可以计算的条件。需要注意的是，虽然解析几何理论上可以解析一切，但计算复杂度过大的计算对于在考场上的我们则无能为力。所以，寻找简化计算的方向即时解析几何的关键所在。

\[\textsf{几何}\qquad\overset{\sf 解析}{\longrightarrow}\qquad\textsf{代数} \]

解一道解析几何题，我们需要经历口个步骤：

熟悉构图和基本要素（点和线），计算自由度，整体把控题目。
构建要素关系网，明确控制关系。
对照要素关系网的边，观察并使用二级结论进行问题的转化。
根据要素关系网，预判各种变量之间关系的形式和复杂程度，考虑计算的方向，预判复杂度。
考虑计算的起点，选合适的要素作为计算的主元。
根据要素关系网翻译条件、表示条件，写出方程。思考能不能优化条件的表达方式减少计算量。
根据前一步的预判，列出的方程消元，选择合适的计算方法，消元求解。
至此圆锥曲线的部分已经完成，问题转化为其他形式（例如最值）。

先看怎么算，明确思路，盯准了再进行具体的计算，不要边想边算。如果遇到不能一眼丁真的题也要多尝试几个思路。拿到条件不要直接无脑表示，先考虑能不能进一步简化这个条件。（例如一些几何信息优化条件，比如平行 \(\to\) 相似三角形、\(-\frac{b^2}{a^2}\) 、椭圆几何定义）（或者可以先用仿射变换进行观察）

——沃茨 · 基硕德

\(\it 0.2\) 计算相关

计算量很大。

目前没有更好的提升计算准确率的方法。

对一个题目的计算方法进行计算量预判。

【计算力提升】

何为“算感”；算感平移。
在纸上算，不要心算。
字迹清晰，排列整齐，方便查找。
小题小算，大题大算，充分利用试卷和草稿纸。
提炼公式简化计算。
代数式处理技巧（如平方差、因式分解）

\(\rm I\) 基本概念、基本技法

\(\it 1.1\) 直线

【直线方程】

形式	条件	方程	不适用的直线	备注
点斜式	\(k\) 和点 \((x_0,y_0)\)	\(y=kx+y_0-kx_0\)	\(x=x_0\)	常用（已知定点和斜率）
斜截式	\(k\) 和截距 \(b\)	\(y=kx+b\)	竖线	仍然是最常用的
两点式	点 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)	\((y-y_1)(x_2-x_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)\)	/	极少用，因为被斜率式取代
截距式	\(x,y\) 轴截距 \(a,b\)	\(\dfrac xa + \dfrac yb=1\)	竖线、横线、过原点线	了解即可
一般式	/	\(ax+by+c=0\)	/	少用，用于变换出公式的形式，套公式

\(ax+by+c=0\qquad\to\qquad y=-\dfrac abx-\dfrac cb\)
\(ax+by+c=0\) 交 \(y\) 轴与 \(-\dfrac cb\)，交 \(x\) 轴与 \(-\dfrac ca\)。

【两直线位置关系】

位置关系	斜截式	一般式
平行	\(k_1=k_2, b_1\not=b_2\)	\(a_1b_2=a_2b_1\quad\text{and}\quad a_1c_2\not=a_2c_1\)
相交	\(k_1\not=k_2\)	\(a_1b_2\not=a_2b_1\)
垂直	\(k_1k_2=-1\)	\(a_1a_2+b_1b_2=0\)

直线 \(ax+by+c=0\) 的一个法向量为 \(\vec m=(a, b)\)。

【点与直线的位置关系】

对于点 \((x_0,y_0)\) 和线 \(ax+by+c=0\) ：
若 \(ax_0+by_0+c>0\) 则点在直线下方。
若 \(ax_0+by_0+c<0\) 则点在直线上方。
故若将 \(A,B\) 两点带入方程，得到的结果同号则两点在直线同侧；若异号则在直线异侧。

\(\it 1.2\) 圆

【基本概念】

标准方程：\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，描述一个圆心为 \((a, b)\)，半径为 \(r\) 的圆。
一般方程：\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)，其中 \(D^2+E^2-4F>0\)，将其配方后即可得到标准形式。其中圆心 \((-\dfrac D2, -\dfrac E2)\)，\(r^2=\dfrac14(D^2+E^2-4F)\)

【圆与直线的位置关系】

用点到直线的距离公式计算圆心与直线的距离，以此判断圆与直线的相交 / 相切 / 相离。
同样在判断圆与圆的位置关系时，计算圆心之间的距离并与半径比较即可（\(r_1+r_2, |r_1-r_2|\) 等）。
判断点与圆的位置关系时，可以将点带入圆的方程（例：若 \(<0\) 则在圆内）

\(\it 1.3\) 椭圆

【基本性质】
椭圆的第一定义：平面上到两点 \(F_1(-c, 0), F_2(c, 0)\) 的距离之和为 \(2a\) 的点构成的曲线为椭圆，其标准方程为 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)。其中 \(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。

椭圆的第二定义：到椭圆一侧焦点 \(F\) 的距离与到直线 \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}\)（在坐标系 \(y\) 轴同侧）的距离之比为定值 \(e\) 的点构成的轨迹为椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)。（\(\dfrac{|PF|}{|PH|}=e\)）

焦半径公式：\(P\) 在椭圆上，\(|PF_1|=a-e\cdot x_P\)

椭圆的第三定义：平面内动点到 \(A(-a, 0), B(a, 0)\) 的直线的斜率之积为常数 \(-\dfrac{b^2}{a^2}\) 的点构成的轨迹为椭圆，其中 \(e\) 为其离心率。

设 \(A, B, P\) 是椭圆上不同的三点，其中 \(A, B\) 关于原点对称，那么恒有 \(k_{PA}\cdot k_{PB}=-\dfrac{b^2}{a^2}\)。
看到斜率之积为定值想第三定义。

【基本计算方式】

直线与椭圆交：将直线与椭圆联立得到一个关于 \(x\) 或关于 \(y\) 的二次方程，可通过判断 \(\Delta\) 的正负判断直线与椭圆相交 / 相切 / 相离。（\(\Delta=a^2A^2+b^2B^2-C^2\)，\(\Delta>0\) 表示与直线相交）
注：若弦过椭圆的交点，那么这条弦叫焦点弦；若焦点弦垂直于交点所在的椭圆的对称轴，那么这条焦点弦叫通径（通径长度 \(\ell=\dfrac{2b^2}{a}\)）。

\(\it 1.4\) 双曲线

第一定义：平面上到两点 \(F_1(-c, 0), F_2(c, 0)\) 的距离的差（绝对值）为定值的点构成的曲线为双曲线。

第二定义（焦准）：到双曲线一侧焦点 \(F\) 和同侧准线 \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}\) 的距离值比为定值 \(e\)（\(\dfrac{|PF|}{PH}=e\)）的点构成的图形为双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)。

第三定义（斜率式）：设 \(A, B, P\) 是双曲线上不同的三点，其中 \(A, B\) 关于原点对称，那么恒有 \(k_{PA}\cdot k_{PB}=\dfrac{b^2}{a^2}\)。

\(\it 1.5\) 抛物线

image 抛物线

标准式：\(y^2=2px\)（开口朝右边的躺着的抛物线）
参数式：\(x=\dfrac{y^2}{2p}\)
第二定义（焦准）：对于抛物线 \(y=ax^2\) 有焦点 \(F(0, \dfrac{1}{4a})\)。
极坐标式：\(\rho=\dfrac{p}{1-\cos\theta}\)

抛物线上任意一点 \(A\) 到抛物线焦点 \(F(\dfrac p2, 0)\) 的距离等于其到抛物线准线 \(\ell:x=-\dfrac p2\) 的距离。

【基础二级结论】

设抛物线 \(y^2=2px\) 焦点为 \(F\)，抛物线的一条弦为 \(AB\)，其中 \(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\)。
若 \(\ell_{AB}\) 过 \(x\) 轴上的定点，则 \(y_1y_2\) 为定值。
若 \(k_{AB}\) 一定，则 \(y_1+y_2\) 为定值。

\(\it 1.6\) 平面对象运算方法

【基本条件表示】

夹角公式：\(\tan\langle \ell_1, \ell_2\rangle=|\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}|\qquad\theta\in[0, \dfrac\pi2]\)
距离公式：\(|AB|=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}\)
\(P(x_0, y_0)\) 到直线 \(\ell:ax+by+c=0\) 的距离：\(d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|kx_0+b-y_0|}{\sqrt{1+k^2}}\)
弦长公式：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_A-x_B|\)
平行线 \(\ell_1:ax+by+c_1=0\) 与 \(\ell_2:ax+by+c_2=0\) 之间的距离：\(d=\dfrac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

【直线运算技巧、直线系方程】

与 \(ax+by+c=0\) 平行的直线：\(ax+by+c'=0\)
与 \(ax+by+c=0\) 垂直的直线：\(bx-ay+c'=0\)
过定点 \((x_0, y_0)\) 的直线：\(a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\) 或 \(y=k(x-x_0)+y_0\)
过两直线交点的直线方程：\(a_1x+b_1y+c_1+\lambda(a_2x+b_2y+c_2)=0\)（注意取不到 \(\ell_2\)）
直线有关的对称问题：点 \((x_0,y_0)\) 关于线 \(ax+by+c=0\) 对称 \(\to\) \((y_0-\dfrac{2a}{a^2+b^2}(ax_0+by_0+c),x_0-\dfrac{2b}{a^2+b^2}(ax_0+by_0+c))\)
线关于点对称：降维求解、夹角公式
反射问题通法：作对称
三角形重心坐标公式： \(G(\dfrac13(x_1+x_2+x_3),\dfrac13(y_1+y_2+y_3))\)
三角形内心边元形式：\(a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC}=0\)

【圆运算技巧、圆系方程】

判断直线和圆的位置关系：距离公式计算圆心到直线的距离。【取值问题找圆心，勾股定理全搞定】
双切线：使用极点极线结论。
切线相关
- 非同心相交两圆方程方程相减，所得直线为公共弦所在直线。
- 非同心相切（内切外切）两圆方程方程相减，所得直线为过两圆切点的公切线。
- 过圆 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) 上一点 \(P(x_0, y_0)\) 的圆切线方程为 \((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\)。（过圆 \(x^2+y^2=r^2\) 上一点 \(P(x_0, y_0)\) 的圆切线方程为 \(x_0x+y_0y=r^2\)）
【圆系方程】
- 过直线 \(Ax+By+C=0\) 与圆 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) 交点的圆系方程为 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F+\lambda(Ax+By+C)=0\)。
- 过两圆 \(C_1:x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0\) 与 \(C_2:x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0\) 的交点的圆系方程为 \(C_1+\lambda C_2\)（此方程不含 \(C_2\)）。
\(x\cos\theta+y\sin\theta+1=0\) 表示单位圆的所有切线。
阿氏圆：构造相似
- 已知恒有 \(\dfrac{|AB|}{|AC|}=k\)
圆生成的函数：\(f(x)=\sqrt{-x^2+bx+c}\)（一般是半圆）。
圆的斜率式：以 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) 为直径的端点的圆方程为 \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\) （用垂直证明）。

\(\rm II\) 列式方向

\(\it 2.1\ \textsf{General solution}\) ——联立为什么是神？

“解析”本质上还是对方程的联立，由若干方程联立到一起的方程组对自由度进行消解，而对方程组的巧妙处理可以大幅降低计算量。解析几何用方程的联立，架起变量之间的桥梁。有以下几个工具：

韦达定理（两根关系）
判别式（根是否存在）
方程的联立、消元
方程之间加减乘除的变换
其他变换

【列式步骤】

明确研究对象，计算自由度，理清要素关系网（对象之间的控制关系）。
观察要素关系网，预估每一步计算的复杂度，利用各种二级结论，预估变量之间的约束形式和复杂程度（称之边权阻值）。
综合计算复杂程度和二级结论，在要素关系网中选取合适的起点设出主元。
根据控制关系翻译条件，列出式子。
联立方程消元求解。
最后结合问题进行下一步求解。
- 最值问题回归到函数化或多变量求最值上。

【常用 \(\textsf{General Solution}\)】

【预知】利用各种二级结论预见变量之间的限制关系的形式和复杂程度，如用“手电筒模型”预见 \(k_1+k_2\) 为定值。
【对称】出现对称结构的条件或相同性质的对象（相同性质多解，如两点都是同一直线与曲线的交点）可以考虑联立研究方程组的性质，套用韦达或方程组变换。
- 研究不对称的式子可以刻意构造对称（如求 \(\dfrac{x_1}{x_2}\) 的范围可以转化为 \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\)）
- 研究不对称构造元素的时候，可以构造出另一边的对象呈现出对称，进行研究。
【判定】将不同的自由度转化，借此将复杂的限制条件转化为简单易处理的条件。
【丁真】利用各种二级结论猜测所求定点位置，所求不等式取最值的取等条件。

不要忘了最基本的代换 \(y=kx+m\)！

\(\it 2.2\) 变量的表示、基本运算

gs：设线一般是用来联立的，设点一般是有很好的点驱动关系。一般情况下以设线联立为主。根据需要来。

设点之参数方程：

将一个点 \(A(x, y)\) 写成 \(A(a\cos\theta, b\sin\theta)\)，这样就可以做到只用一个变量表示一个点。双曲线是 \(A(a\sec\theta, b\tan\theta)\)。
配合三角恒等变换。

直线表示：

\(y=kx+m, x=ky+m\)（正设和反设，可能有计算量的差别）
\(y=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1\) 两点式
- \(y=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-\dfrac{x_1+x_2}{2})+\dfrac{y_1+y_2}{2}\) 刻意构造对称
\(mx+ny=1\) 用于齐次化的设法\(\begin{cases}x=x_0+r\cos\theta\\y=y_0+r\sin\theta\end{cases}\) 定点长度相关（例如圆上的点）

抛物线一般用点参，例如 \(A(y_1^2, y_1)\)。

直线相交：利用斜率相等，如 \(\dfrac{y_P-y_A}{x_P-x_A}=\dfrac{y_P-y_B}{x_P-x_B}\)。

【非对称条件处理方法】

涉及定点问题时先猜出定点带入求解。
由韦达定理建立两根和积关系式带入化简。
以 \(x_1\) 或 \(x_2\) 为主元进行消元化简。
涉及 \(k_1\cdot k_2=-\dfrac{b^2}{a^2}\) 的问题使用第三定义进行转化。
利用点在圆锥曲线上的方程进行化简（\(P(a\cos\alpha, b\sin\alpha)\)）
刻意构造对称（如 \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}, y=k(x-\dfrac{x_1+x_2}{2})+\dfrac{y_1+y_2}{2}\)）。

刻意构造对称，例如使用两点式（或点斜式）时可以挑选两点的中点，例如 \(y=k(x-\dfrac{x_1+x_2}{2})+\dfrac{y_1+y_2}{2}\)，方便使用韦达。

\(\it 2.3\) 处理方向 1 - 韦达

最常规的方法。

【基本内容】
韦达定理：已知二次方程 \(Ax^2+Bx+C=0\)，两根为 \(x_1, x_ 2\)，则有 \(x_1+x_2=-\dfrac BA, x_1x_2=\dfrac CA\)

即设出线的解析式，与椭圆联立化为与 \(x\) 或 \(y\) 相关的二次方程，进而得到交点横纵坐标的和差信息（\(x_A+x_B=..., x_Ax_B=...\)），利用所得信息进行进一步解题。

通常有两种出发方向：点驱动（设点）与线驱动（设线）。

如果所求式对称，那么就可以用韦达获得交点的和与乘积的关系式，但该方法的缺点是较为传统，有的时候计算量较大。

\[\left<\begin{aligned} y=kx+m\\\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \end{aligned}\right>\Rightarrow \left<\begin{matrix}(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2km+a^2(m^2-b^2)=0 \\ \\ (a^2k^2+b^2)y^2-2b^2my+b^2(m^2-a^2k^2)=0\end{matrix}\right> \]

上式是椭圆与直线 \(y=kx+m\) 的联立，联立双曲线时将所有 \(b^2\) 替换为 \(-b^2\) 即可。

（加速计算）点乘双根：\(a_2x^2+a_1x+a_0\quad=\quad a_2(x_1-x)(x_2-x)\)，将 \(x\) 赋值某常数 \(m\) 后直接带入左边的式子可以方便地计算 \(a_2(m-x_1)(m-x_2)\) 的值。

【硬解定理】

椭圆
- \((a^2k^2+b^2)x^2+2a^2km+a^2(m^2-b^2)=0\)
- \((a^2k^2+b^2)y^2-2b^2m+b^2(m^2-a^2k^2)=0\)
- 由韦达定理即可求解 \(x_1+x_2\)，\(x_1x_2\)，\(y_1+y_2\) 以及 \(y_1y_2\)。
- \(x_1y_2+y_1x_2=\dfrac{-2a^2b^2k}{a^2k^2+b^2}\)
- \(|x_1-x_2|=\dfrac{2ab}{a^2k^2+b^2}\sqrt{a^2k^2+b^2-m^2}\)
- \(|y_1-y_2|=\dfrac{2akb}{a^2k^2+b^2}\sqrt{a^2k^2+b^2-m^2}\)
双曲线
- \((a^2k^2-b^2)x^2+2a^2km+a^2(m^2+b^2)=0\)
- \((a^2k^2-b^2)y^2+2b^2m-b^2(m^2-a^2k^2)=0\)

trick：二次方程已知一根可以直接用韦达定理解另一根（如果二次方程已知一根或有特殊性质可以考虑直接解）

\(\it 2.4\) 处理方向 2 - 方程组变形

【\(\sf gs\)】
如何快速解联立的方程组？

若存在形式非常相近或出现相同结构的方程，那么就可以考虑对方程之间进行整体的变换，例如作差、作商等等。这样得到的方程的形式可能优于原方程，也可以做到构造对称。注意方程组的自由度问题，有多少个方程就要解出多少个条件。

【经典模型】定比点差法
用于处理中点弦、定比分弦等等。

设出椭圆上两点 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)，得到椭圆方程 \(\begin{cases}\dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{b^2}=1\\\dfrac{x_2^2}{a^2}+\dfrac{y_2^2}{b^2}=1\end{cases}\)，两者做差后运用平方差公式可以得到中点弦的二级结论之一 \(k_{AB}\cdot k_{OM}=-\dfrac{b^2}{a^2}\)。

其他应用有待研究。

【抛物线点参解析式】（点差）
初中全靠这一条公式做二次函数......

对于抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 上的两点 \(x_M, x_N\)，有 \(\ell_{MN}:y=[a(x_M+x_N)+b]x-ax_Mx_N+c\)。
对于抛物线 \(y^2=2px\) 上的两点 \(y_M, y_N\)，有 \(\ell_{MN}:x=\dfrac{x_M+x_N}{2p}y-\dfrac{x_Mx_N}{2p}\)。

\(\it 2.5\) 处理方向 3 - 齐次化处理 | 配合平移

【齐次化】

将直线方程写成 \(mx+ny=1\) 的形式，用“1 的妙用”（本质是调节次数使之齐次化）将其带入二次曲线式中联立，得到关于 \(\dfrac{y}{x}\) 的二次方程（即到原点连线的斜率），获得 \(k_1+k_2\) 与 \(k_1\cdot k_2\) 的信息。为应对目标直线交点不在原点的情况，通常配有坐标系平移的操作。
处理过定点两直线斜率的和或积信息，常用于一些定点的证明。
平移后记得要变回来！

\(\it 2.6\) 注意事项

直接设直线时涉及变量取值范围时必查 \(\Delta\)。

\(\rm III\) 条件翻译

\(\it 3.1\) 基本条件处理

直线
- 两直线交点：\(\dfrac{y_0-y_1}{x_0-x_1}=\dfrac{y_0-y_2}{x_0-x_2}\)（斜率式）（常用）
- 平行：\(k_1=k_2\) 或 \(\vec m=\lambda\vec n\)。
- 垂直：\(k_1k_2=-1\) 或 \(\vec m\cdot\vec n=0\)。
- 直线与圆锥曲线的位置关系：判 \(\Delta\) 正负。
- 直线与圆锥曲线相交（属于较复杂的关系）：
  - 获得点坐标的和、积：联立韦达。
  - 获得到某个定点的直线斜率的关系（和、积）：联立构造齐次化，配合平移。
角度
- 斜率 \(k=\tan\theta\)
- \(\tan\theta=\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\)，转化成斜率的信息（比如说接着用齐次 - 平移）
- 向量夹角公式数量积。
- 运用公式中所带的三角函数。
- 用特殊手段证明角度相等（如相似等几何关系）
- 特殊角度：特殊手段（如焦点三角形相关、阿基米德三角形）
线段中点：\(\left(\frac12(x_1+x_2), \frac12(y_1+y_2)\right)\)；
- 线段定比分点：向量。
圆
- 直线与圆的位置关系：计算圆心到直线的距离（套公式）。
- 极点极线相关结论。
长度
- 一般的长度：两点距离公式。
- 弦长：\(\ell=\sqrt{k^2+1}|x_1-x_2|\)。
- 点 \((x_0, y_0)\) 到直线 \(Ax+By+C=0\) 的距离公式 \(\ell=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
- 特殊长度：特殊方法（如焦半径）
两点之间斜率：\(k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)。
焦点三角形的顶角：\(S=b^2\cdot\tan\dfrac\theta2\)。
三点共线：\(A, B, C\) 共线，则 \(k_{AB}=k_{AC}\)（随意各选两点即可）（列斜率式）

\(\it 3.2\) 几何条件代数化方向

重心：坐标公式（加起来除 \(3\)）
三角形的面积
- 基础：\(S=\dfrac12ah\)（弦长 + 距离公式）
- 铅锤法
- 向量叉积 \(S=\dfrac12|x_1y_2-x_2y_1|\)
  - 向量叉积形式的四边形对角线面积公式：已知原点为 \(O\) 的坐标系内四边形 \(ABCD\)，则 \(S_{ABCD}=\dfrac12[(x_A-x_C)(y_B-y_D)+(x_B-x_D)(y_C-y_A)]\)（分为 \(S_{\Delta OAB}, S_{\Delta OBC}, S_{\Delta OCD}, S_{\Delta ODA}\) 四个三角形然后叉积）
- 仿射变换
- 特殊面积：特殊处理（如焦点三角形）
同一条直线上相邻长度的比：
1. 转化为横或纵坐标比
2. 向量表示
各种向量条件：坐标表示，基本用不到几何意义
点和直线的变换
- 等腰三角形 / 垂直平分线：垂直 + 中点
- 点与点关于某直线对称：垂直 + 中点
角平分线：
1. 水平或竖直：斜率 \(k\) 取反
2. 斜线：用夹角公式，或变成长度用角平分线定理
3. 椭圆的光学性质相关（焦点三角形）

\(\rm IV\) 二级结论、常用模型

熟练掌握和使用二级结论可以掌控全局，有效帮助预判计算方向和计算量。

痛みを感じろ！！！

【二级结论】

如何观察和使用

\(\it 4.1\) 仿射变换、斜率相关

【仿射变换基本概念】

将原坐标系的所有点的横纵坐标进行等比例放缩，如 \(\begin{cases}x\to ax\\y\to by\end{cases}\)。一般放缩为圆或反比例函数（\(y=x\)）等易于处理的图形。
性质：
1. 斜率成比例变化（线性）。
2. 面积成比例变化（线性）。
3. 点线相对位置关系不变，同一直线上的线段长比例不变（包括向量加减运算）。
求奇怪面积的时候可以用仿射变换。
参数方程 \(A(a\cos\alpha, b\sin\alpha)\) 本质也是仿射变换。

【椭圆第三定义相关】

平面上 \(A(-a, 0), B(a, 0)\) 两点，平面上一动点 \(P\) 到两点直线斜率之积 \(k_{PA}\cdot k_{PB}=-\dfrac{b^2}{a^2}\)，则 \(P\) 的轨迹为椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)。
- 该结论经仿射变换为圆后易证。事实上，对于椭圆上任意关于原点对称的两点，该结论都适用。
斜率之积 \(-\dfrac{b^2}{a^2}\) 十分特殊，其经仿射变换为圆后将变为 \(-1\)，即两直线垂直。
椭圆中点弦：经仿射变换后变为圆中垂径定理模型（\(k_{AB}\cdot k_{OP}=-\dfrac{b^2}{a^2}\quad\to\quad k_{A'B'}\cdot k_{OP'}=-1\)）

【衍生结论 & 方法体系】

若 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\) 是椭圆 \(\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 上的两个动点，满足 \(k_{OA}\cdot k_{OB}=-\dfrac{b^2}{a^2}\)（也就是仿射为圆后 \(OA'\perp OB'\)），那么：
1. \(S_{\Delta AOB}=\dfrac{S_{\Gamma}}{2\pi}=\dfrac12ab\)，\(x_1^2+x_2^2=a^2, y_1^2+y_2^2=b^2\)。
2. 若椭圆上一点 \(M\) 满足 \(\vec{OM}=\lambda\vec{OA}+\mu\vec{OB}\)，则 \(\lambda^2+\mu^2=1\)；若平面内一点 \(N\) 满足 \(\vec{ON}=\lambda\vec{OA}+\mu\vec{OB}\)，则 \(N\) 点的轨迹是 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\lambda^2+\mu^2\)。
对于双曲线，将其仿射为反比例函数后对应的有效斜率积为 \(\dfrac{b^2}{a^2}\)（且需要将仿射后的 \(x^2-y^2=1\) 旋转 \(45^\circ\) 变为函数 \(y=\dfrac1x\)）。过双曲线
- 双曲线中的面积定值：过双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 上一点 \(P(x_0, y_0)\) 作两条分别平行于渐近线的直线，围成的平行四边形面积为定值 \(S=\dfrac12ab\)。

【其他斜率相关二级结论】

椭圆上 \(A, B\) 两动点，满足 \(\ell_{OA}\perp\ell_{OB}\)，点 \(P\) 是原点 \(O\) 关于弦 \(AB\) 的垂足，则 \(P\) 的轨迹是以原点为圆心，半径为 \(\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\) 的圆。

\(\it 4.2\) 极点极线、切线相关

【极点极线的概念】

平面上有二次曲线 \(\Gamma:Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0\)，则对于极点 \(P(x_0, y_0)\)，其关于曲线 \(\Gamma\) 的极线为 \(\ell_P:Ax_0x+Cy_0y+D\dfrac{x+x_0}{2}+E\dfrac{y+y_0}{2}+F=0\)（即 \(\begin{cases}x^2\to x_0x\\y^2\to y_0y\end{cases}\)，\(\begin{cases}x\to\dfrac{x+x_0}{2}\\y=\to\dfrac{y+y_0}{2}\end{cases}\)）。（下文用 \(\ell_M\) 表示 \(M\) 点的极线）
- 焦点和准线是一对特殊的极点极线。
几何定义：过 \(P(x_0, y_0)\) 引圆锥曲线的两条割线，交于 \(A, B, C, D\) 四点，\(\ell_{AB}\cap\ell_{CD}=T\)，则 \(T\in\ell_P\)（\(A, B, C, D\) 四点顺序任意）。【常常作为出题的几何构造】

【极点极线的性质】

对于圆锥曲线外一点 \(P(x_0, y_0)\)，过 \(P\) 作椭圆的两条切线交椭圆于 \(M, N\)，则直线 \(MN\) 就是点 \(P\) 对应的极线。
对于圆锥曲线上一点 \(P(x_0, y_0)\)，其极线为椭圆在 \(P\) 处的切线。
对于圆锥曲线内一点 \(P(x_0, y_0)\)，过 \(P\) 引椭圆的一条割线交于 \(A, B\)，则椭圆在 \(A, B\) 两点处的切线的交点构成的轨迹为 \(\ell_P\)。
【配极原则】\(Q\in\ell_P\lrArr P\in\ell_Q\)。
过 \(P\) 作割线 \(\ell_0\) 交圆锥曲线于 \(AB\)，\(\ell_0\cap\ell_P=Q\)，则 \(\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{QA}{QB}\)（\(P, Q\) 关于圆锥曲线调和共轭）。
- \(\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{QA}{QB}\) 与 \(\dfrac2{PQ}=\dfrac1{PA}+\dfrac1{PB}\) 等价。
- 若 \(A, B\) 在圆锥曲线的对称轴上，且 \(A, B\) 关于圆锥曲线调和共轭，过 \(B\) 作圆锥曲线的热议一条割线交于 \(P, Q\)，则 \(\angle PAB=\angle QAB\)。

【极点极线相关定值模型】

过椭圆 \(\Gamma\) 外一点 \(P(t, 0)\) 引割线 \(\ell_{AB}\) 交于 \(A, B\)，\(A'\) 为 \(A\) 关于 \(x\) 轴的对称点，\(\ell_{A'B}\cap x=Q\)，则 \(\vec{OP}\cdot\vec{OQ}=a^2\)。(双曲线，抛物线同理）
\(P\) 为椭圆外一点，\(A, B\) 为椭圆左右顶点，\(\ell_{PA}\cap\Gamma=C, \ell_{PB}\cap\Gamma=D\)，\(\ell_{CD}\cap x=Q\)，则 \(\vec{OP}\cdot\vec{OQ}=a^2\)（双曲线同理）

\(\it 4.3\) 定点模型

【定点模型理论】

自由度为 \(1\) 的直线：要么过定点，要么定斜率，要么是其他少见形式（如椭圆切线）。
对于求直线过定点的题型，可以采取先猜后证的策略。
1. 套用极点极线
2. 常规模型
3. 通过取特值猜出定点
4. 考虑对称性

【常用定点模型】

极点极线
- 极点自由度为 \(1\) 时极线自由度为 \(1\)，一般过定点。
- 注意 \(Q\in\ell_P\lrArr P\in\ell_Q\)。
- 判定极点极线：椭圆内接四边形 / 圆锥曲线上四点。
过圆锥曲线上定点的直线斜率关系
- 过圆锥曲线上定点 \(P(x_0, y_0)\) 作其割线，交于 \(A, B\)，其中 \(k_1=k_{PA}\) 和 \(k_2=k_{PB}\) 满足一定关系（简单关系）。
  - \(k_1\cdot k_2=m\)，则 \(\ell_{AB}\) 过定点 \((\dfrac{(a^2m+b^2)x_0}{a^2m-b^2}, -\dfrac{(a^2m+b^2)y_0}{a^2m-b^2})\)。（椭圆）
  - \(k_1+k_2=m\)，则 \(\ell_{AB}\) 过定点。
- 当然有可能是斜率为定值的情况。

【证明方法体系】

最优先：齐次化 - 平移
- 平移变换：\(\begin{cases}x=x'+a\\y=y'+b\end{cases}\)
- 由韦达定理获得 \(k_1+k_2, k_1\cdot k_2\) 的值。
先猜后证
- 猜定点：
  1. 极点极线
  2. 常用模型判断
  3. 考虑多种特殊情况，来骗来偷袭！
  4. 考虑对称性
- 方法 1：齐次平移。
- 方法 2.1：直线过点；若定点在 \(x\) 轴或其他直线上，代入根系关系，联立解出 \(x\) 值。
- 方法 2.2：三点共线；列斜率式 \(k_1=k_2\)。
- 方法 3：一般证明法；写出直线的方程并证明其过定点。（很复杂，不推荐用）

\(\it 4.4\) 定值模型

【中点弦定值相关（\(-\dfrac{b^2}{a^2}\)）】

形式：\(k_1\cdot k_2=-\dfrac{b^2}{a^2}\)
本质：仿射为圆
内容包括：
1. 中点弦（对应圆中垂径定理）
2. 切线（对应圆中切线垂直于半径）
3. 斜率积为 \(-\dfrac{b^2}{a^2}\) 的弦（对应圆周角定理）
见【仿射变换 & 斜率相关】

【垂直相关（斜率积为 \(-1\)）】

设 \(A, B\) 是椭圆上两个动点，满足 \(k_{OA}\cdot k_{OB}=-1\)，过原点向 \(\ell_{AB}\) 作垂线交于 \(H\)，则：
1. 点 \(C\) 的轨迹方程为 \(x^2+y^2=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\)，即 \(|OC|=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\)。
2. \(\dfrac1{|OA|^2}+\dfrac1{|OB|^2}=\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}\)。
3. 双曲线中 \(b^2\to-b^2\) 即可。
（蒙日圆）由椭圆外一点向椭圆引两条切线切于 \(A, B\)，满足 \(k_{PA}\cdot k_{PB}=-1\)，点 \(C\) 为弦 \(AB\) 的中点，点 \(Q\) 为椭圆上的另外一点，\(\ell_{OQ}\cap\{x^2+y^2=a^2+b^2\}=E, F\)，则：
1. \(|OP|=\sqrt{a^2+b^2}\)。
2. \(O, C, P\) 三点共线，点 \(C\) 轨迹为椭圆。
3. \(|QE|\cdot|QF|=|QF_1|\cdot|QF_2|\)。
4. 对于双曲线 \(b^2\to-b^2\) 即可。

【斜率定值相关】

\(k_1+k_2=0\)（对称）
- 过椭圆上一定点 \(P\) 引两条弦 \(PA, PB\)，满足 \(k_{PA}+k_{PB}=0\)，则 \(k_{OP}\cdot k_{AB}=\dfrac{b^2}{a^2}\)
\(k_1+k_2=2k_0\)
- 过椭圆内一点 \(Q(t, 0)\) 作弦 \(AB\)，动点 \(P\in\ell_Q\)（极线），则 \(k_{PA}+k_{PB}=2k_{PQ}\)。（双曲线、抛物线同理）

【角度定值】（注：约定 \(M\) 和 \(\ell_M\) 为极点极线）

过椭圆上一点 \(A\) 作切线交右准线与 \(B\)，右焦点为 \(F\)，则 \(\angle AFB=90^\circ\)。
过椭圆左焦点 \(F\) 作弦 \(AB\)，\(D\) 是椭圆右顶点，\(\ell_F\) 为左准线，\(\ell_{DA}\cap\ell_{F}=M, \ell_{DB}\cap\ell_F=N\)，则 \(\angle MFN=90^\circ\)。
椭圆内 \(Q(t, 0)\)，\(\ell_Q\cap x=P\)，过 \(Q\) 作弦 \(AB\)，则 \(\angle APQ=\angle BPQ\)。
过椭圆左焦点 \(F\) 作两条弦 \(AB, CD\)，\(\ell_{AC}\cap\ell_{BD}=P\)，则有 \(P\in\ell_F\)。
过椭圆外一点 \(P\) 引椭圆两条切线切于 \(A, B\)，则有 \(\angle PF_1A=\angle PF_1B\)，\(\angle PF_2A=\angle PF_2B\)。

\(\it 4.5\) 焦点相关

【焦半径、焦点弦】

约定：取焦点弦与焦点所在坐标轴的锐夹角为 \(\theta\)。默认 \(AB\) 为过椭圆某一焦点的焦点弦。\(F_1, F_2\) 为左、右焦点。
【第二定义】\(\dfrac{AF_1}{AH}=e\)（左焦点对左准线，右焦点对右准线）

椭圆焦半径：
- \(|AF_1|=a+ex_A\)，\(|AF_2|=a-ex_A\)。
- 角度式：长焦半径 \(\rho_1=\dfrac{b^2}{a-c\cos\theta}\)，短焦半径 \(\rho_2=\dfrac{b^2}{a+c\cos\theta}\)。
双曲线焦半径（单支焦半径）：
- \(|AF_1|=-a-ex_A\)，\(|AF_2|=-a+ex_A\)。
- 角度式：同上。
双曲线焦半径（异支焦半径）：
- \(|AF_1|=a+ex_A\)，\(|AF_2|=a-ex_A\)。

焦点弦推论
- \(\Large\color{Red}\star\) 若过圆锥曲线焦点 \(F\) 的弦 \(AB\) 有 \(\dfrac{|AF|}{|BF|}=\dfrac nm\)，其斜率为 \(k\)，则有 \(e=\sqrt{k^2+1}|\dfrac{n-m}{n+m}|\)。
- 在圆锥曲线中，设过焦点 \(F\) 切不与坐标轴垂直的直线交圆锥曲线于 \(A, B\)，其垂直平分线交焦点所在坐标轴于 \(R\)，则 \(\dfrac{|FR|}{|AB|}=\dfrac e2\)。
- 椭圆或双曲线上任取一点 \(P\)，则以 \(PF\) 为直径的圆与以原点为圆心、\(a\) 为半径的圆相切（椭圆内切，双曲线外切）。

【焦点三角形、焦点角度相关】

焦点三角形基本做法：
1. 单个焦点性质不好，通常两个焦点一起使用第一定义（不然无法利用条件）。
2. 焦点三角形顶角处理方法。
3. 熟悉经典构图，例如内接圆。
在椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 中，焦点为 \(F_1, F_2\)，\(P\) 是椭圆上任意一点，\(\angle F_1PF_2=\theta\)，则 \(S_{\Delta F_1PF_2}=b^2\cdot\tan\dfrac\theta2=b\sqrt{|PF_1|\cdot|PF_2|-b^2}\)。
- 双曲线：\(S=\dfrac{b^2}{\tan\frac\theta2}=b\sqrt{|PF_1|\cdot|PF_2|-b^2}\)。
- 抛物线：\(S=\dfrac{p^2}{2\sin\theta}\)（\(\theta\) 为过焦点直线的倾斜角）
椭圆中，左右焦点为 \(F_1, F_2\)，\(P\) 为椭圆上任意一点 \(\angle F_1PF_2=\theta\)，则 \(|PF_1|\cdot|PF_2|=\dfrac{b^2}{\cos^2\frac\theta2}=\dfrac{2b^2}{1+\cos\theta}\)（双曲线中为 \(\dfrac{2b^2}{1-\cos\theta}\)）。若 \(\angle PF_1F_2=\alpha, \angle PF_2F_1=\beta\)，则 \(e=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha+\sin\beta}\) 且 \(\dfrac{a-c}{a+c}=\tan\dfrac\alpha2\tan\dfrac\beta2\)。（双曲线中为 \(e=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{|\sin\alpha-\sin\beta|}\)，\(\dfrac{c-a}{c+a}=\tan\dfrac\alpha2\tan\dfrac\beta2\)）
椭圆中，焦点在 \(x\) 轴上，\(\Delta F_1PF_2\) 是焦点三角形，\(O_1\) 为其内心，延长 \(PO_1\) 交 \(x\) 轴于 \(A\)，则恒有 \(\dfrac{|O_1A|}{|PO_1|}=e\)，且 \(O_1\) 的轨迹是以原椭圆两焦点为长轴顶点的新椭圆。其中 \(O_1(ex_P, \dfrac{e}{e+1}y_P), A(e^2x_P, 0)\)。
椭圆中，焦点三角形的旁切圆的轨迹为直线 \(x=a\)；双曲线的焦点三角形内切圆轨迹为 \(x=a, x\in(-b, b)\)；双曲线焦点三角形旁切圆轨迹为双曲线。
\(\color{Red}\Large\star\) 焦点三角形核心在于熟悉各种构图模式。

【光学性质】

设椭圆上一点 \(P\)，椭圆在 \(P\) 处的切线为 \(\ell_0\)，\(\ell_1\perp\ell_0\)，则有 \(\ell_1\) 平分 \(\angle F_1PF_2\)。（从椭圆一焦点发出的光线，经椭圆反射必经过另一个焦点）
双曲线同理
从抛物线焦点发出的光，经抛物线反射后与焦点所在坐标轴平行。

【焦点角度相关】

\(\it 4.6\) 抛物线二级结论

【阿基米德三角形（抛物线大模型）】

设抛物线 \(\Gamma:y^2=2px\)，抛物线上两点 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)，\(Q\) 为弦 \(AB\) 的中点，\(\ell_1, \ell_2\) 分别为 \(A, B\) 处抛物线的切线，\(\ell_1\cap\ell_2=P\)。
则：
1. \(\ell_{PQ}\parallel x\) 轴。
2. \(P(\dfrac{y_1y_2}{2p}, \dfrac{y_1+y_2}{2})\)。
3. 点 \(C\) 为 \(PQ\) 中点，则 \(C\in\Gamma\)，且 \(C\) 点处的切线平行于 \(\ell_{AB}\)。
4. \(\Delta AFP\sim\Delta PFB\)。
5. （阿基米德三角形 \(\Delta APB\)）弦 \(AB\) 与抛物线围成的图形面积为 \(\dfrac23S_{\Delta APB}\)。其中 \(S_{\Delta APB}=\dfrac{|y_1-y_2|^3}{8p}\)。
若弦 \(AB\) 过焦点 \(F\)，记 \(\ell_0\) 为准线，作 \(AA'\perp\ell_0\) 交于 \(A'\)，\(BB'\perp\ell_0\) 交于 \(B'\)，\(Q'\) 为 \(A'B'\) 中点。
1. \(\ell_{Q'A}, \ell_{Q'B}\) 切 \(\Gamma\)。\(Q'F\perp AB, |Q'F|=\dfrac12|A'B'|\)。\(Q'A\) 平分 \(\angle A'Q'F\)，另一侧 \(Q'B\) 同理。（初中几何某模型）
2. \(x_1x_2=\dfrac{p^2}{4}\)，\(y_1y_2=-p^2\)。（坐标表示）
3. \(\dfrac1{|AF|}+\dfrac1{|BF|}=\dfrac2p\)，\(S_{\Delta AOB}=\dfrac{p^2}{2\sin\theta}\)（\(\theta\) 为弦 \(AB\) 与焦点所在坐标轴的锐夹角）。

\(\it 4.7\) 其他

表示方法：特殊表示方法（依据具体情况而定

极坐标系解圆锥曲线

! image

! image 双曲线

! image 抛物线

内准圆

求最值问题丁真放缩法

高庙上的曲线系

\(\Large\star\) 二次曲线 \(C:Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0\)
\(C_1:F_1(x, y)=0, C_2:F_2(x, y)=0\)
一般曲线系 \(F(x, y)=\lambda_1F_1(x, y)+\lambda_2F_2(x, y)=0\)

临时例题

\(\ell ink\)

非对称韦达

证明角度相等：相似三角形？

标签：直线,椭圆,ell,dfrac,解析几何,AB,焦点
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解析几何 | 第 2 版