首页 > 其他分享 >"简简单单"的推式子题

"简简单单"的推式子题

时间:2023-09-02 22:22:26浏览次数:55  
标签:gcd sum mid varphi mu ij 简简单单 式子

1、来源 InfOJ54

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\gcd(i,j)\varphi(ij)\mu(ij),\qquad n,m\le 5\times10^7 \]

通过莫比乌斯函数 \(\mu\) 的性质可知,如果 \(\gcd(i,j)\not=1\),\(\mu(ij)\) 是一定等于 \(0\) 的。

又因为 \(\varphi\) 与 \(\mu\) 都为积性函数,那么可得

\[\begin{align*} &\quad\ \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}\varphi(i)\varphi(j)\mu(i)\mu(j)\left[\gcd(i,j) = 1\right]\\ & = \sum_{i = 1}^{n}\varphi(i)\mu(i)\sum_{j = 1}^{m}\varphi(j)\mu(j)\left[\gcd(i,j) = 1\right]\\ & = \sum_{i = 1}^{n}\varphi(i)\mu(i)\sum_{j = 1}^{m}\varphi(j)\mu(j)\sum_{d\mid\gcd(i,j)}\mu(d)\\ & = \sum_{i = 1}^{n}\varphi(i)\mu(i)\sum_{j = 1}^{m}\varphi(j)\mu(j)\sum_{d = 1}^{\min(n,m)}[d\mid i][d\mid j]\mu(d)\\ & = \sum_{d = 1}^{\min(n,m)}\mu(d)\sum_{d\mid i}^{n}\varphi(i)\mu(i)\sum_{d\mid j}^{m}\varphi(j)\mu(j)\\ \end{align*} \]

其中 \(\mu\) 与 \(\varphi\) 可以通过线性筛处理,而 \(f(d)=\sum_{d\mid i}^{n}\varphi(i)\mu(i)\) 可以通过狄利克雷后缀和处理。

标签:gcd,sum,mid,varphi,mu,ij,简简单单,式子
From: https://www.cnblogs.com/Cnghit/p/17674022.html

相关文章

  • 常见数学式子
    (持续更新ing...)式子没啥可说的,直接列式子吧(证明都在最下面):\(1.\displaystyle\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)\(2.\displaystyle\sum_{1\lei<j\len}(i+j)=\frac{n(n-1)(n+1)}{2}\)\(3.\displaystyle\sum_{1\lei\lej\len......
  • 简简单单,带你学会使用Java线程池
    在前面几篇文章中,波哥给小伙伴们讲解了什么是线程,以及创建线程的几种方法。这就有小伙伴问了,我们工作中用得最多的是线程池,波哥你能不能再给我们讲一讲线程池呀?既然小伙伴们提出需求了,波哥我就得满足大家了,今天我就为小伙伴们讲一讲线程池! 一.线程池1.什么是线程池在面向对象编程......
  • 简简单单学docker在群晖nas中构建docker版aspnetcore网站
    琢磨了n天,掉了好多头发,终于可以了,踩坑无数!终于行了!先来了解下:1.net运行时runtime和sdk,简单来说就是sdk开发用的,runtime是用来运行的,所以构建dockerfile只用runtime就够了!2.docker运行不需要打包操作系统如ubuntu等进入包内!特殊需要的可以!这个问题都必须了解!正式开始1.用vs202......
  • farm (牛客多校) (二维树状+数学式子优化+rand()去除特殊情况)
    题目大意:给出一个n*m的田地矩阵,每个格子上种着一种植物。给格子施肥t次,每一次给出五个数字,x1,y1,x2,y2,k,要施肥的区域坐标和要施的肥料种类。如果植物和施肥种类不匹配,植物会死亡。问最终会死多少个植物。 思路:判断一个植物死不死, 判断植物种类*施肥次数==施肥种类总和某......
  • 一个式子
    今天jijidawang找我问一个式子:\[\sum\limits^n_{i=0}\binom{n}{i}f_i=f_{2n}\]其中\(f_0=1\,,\,f_1=1\,,\,f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}\,(n\ge2)\)设$$S(n,m)=\sum\limits^n_{i=0}\binom{n}{i}f_{i+m}$$那么我们要求的就是\(S(n,0)\)观察到这个东西可以做出以下转换\[......
  • [复习资料]关于式子
    目录关于式子关于式子这个人开始写一些无意义的东西了。\[\sum_{i}\min_{j}a_{i,j}=\sum_{p\ge1}\prod_{i}\sum_{j}[a_{i,j}\gep]\]\[\sum_{i}\max_{j}a_{i,j}=\sum_{p\ge1}(\prod_{i}\sum_{j}1-\prod_{i}\sum_{j}[a_{i,j}<p])\]\[\lfloor\frac{n}{m}\rfloor=\frac......
  • [SWPUCTF 2021 新生赛]简简单单的解密
    拿到一个.py的文件,查个壳:进入看看是怎么个解密:挺长,感觉还有点像RC4的加密方式(这个不讨论),往下看逻辑:首根据输出,我们能知道,加密后的文档应该是enc,enc又是由crypt而来,crypt又是由cipher而来,而cipher又是由res而来:看看res怎么来的:res可以知道是由flag跟k异或而来的,接着往下看......
  • [SWPUCTF 2021 新生赛]简简单单的逻辑
    得到一个.py文件,一般是没壳的,不过还是要养成习惯,查个壳:意料之中,啥也没有,打开文件:给了我们一个加密逻辑,然后最后一行给了一个结果:那么就是根据上述的逻辑,反解密出flag就好了分析一下上述逻辑:首先对list进行变化得到key的值(怎么变化不用理,因为用不到,为啥因为是异或昂,异或的特......
  • 计算(2+22+222······)类似的式子
    intmain(){intp=0;//设的数字inti=0;intz=0;intd=0;//自定义前几项intr=0;//一项scanf("%d%d",&p,&d);for(i=0;i<d;i++){r=......
  • 简简单单告诉你什么是k8s
    简简单单告诉你什么是k8s导读K8S是什么?给我们带来了什么?这篇文章来带你简单了解一下目前最火热的平台软件.什么是K8SK8S(Kubernetes)是一个可移植的、可扩展的开源平台,......