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"简简单单"的推式子题

时间:2023-09-02 22:22:26浏览次数:53  
标签:gcd sum mid varphi mu ij 简简单单 式子

1、来源 InfOJ54

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\gcd(i,j)\varphi(ij)\mu(ij),\qquad n,m\le 5\times10^7 \]

通过莫比乌斯函数 \(\mu\) 的性质可知,如果 \(\gcd(i,j)\not=1\),\(\mu(ij)\) 是一定等于 \(0\) 的。

又因为 \(\varphi\) 与 \(\mu\) 都为积性函数,那么可得

\[\begin{align*} &\quad\ \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}\varphi(i)\varphi(j)\mu(i)\mu(j)\left[\gcd(i,j) = 1\right]\\ & = \sum_{i = 1}^{n}\varphi(i)\mu(i)\sum_{j = 1}^{m}\varphi(j)\mu(j)\left[\gcd(i,j) = 1\right]\\ & = \sum_{i = 1}^{n}\varphi(i)\mu(i)\sum_{j = 1}^{m}\varphi(j)\mu(j)\sum_{d\mid\gcd(i,j)}\mu(d)\\ & = \sum_{i = 1}^{n}\varphi(i)\mu(i)\sum_{j = 1}^{m}\varphi(j)\mu(j)\sum_{d = 1}^{\min(n,m)}[d\mid i][d\mid j]\mu(d)\\ & = \sum_{d = 1}^{\min(n,m)}\mu(d)\sum_{d\mid i}^{n}\varphi(i)\mu(i)\sum_{d\mid j}^{m}\varphi(j)\mu(j)\\ \end{align*} \]

其中 \(\mu\) 与 \(\varphi\) 可以通过线性筛处理,而 \(f(d)=\sum_{d\mid i}^{n}\varphi(i)\mu(i)\) 可以通过狄利克雷后缀和处理。

标签:gcd,sum,mid,varphi,mu,ij,简简单单,式子
From: https://www.cnblogs.com/Cnghit/p/17674022.html

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