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闲话 8.23

时间:2023-08-23 20:33:28浏览次数:39  
标签:frac log 闲话 sum text 8.23 aligned omega

闲话 8.23

起因是 Rolling_star 在考古 IMO 时发现了这样一道预选题:

给出序列 \(\{a_n\}\) 满足:

\[2^n=\sum_{d|n}{a_d} \]

求证:

\[n|a_n \]

我们先做一遍底幂交换 (\(Base\) \(power\) \(exchange\)):

\[2^d=\sum_{n|d}a_n \]

然后再指数降阶($ Exponential$ $reduction $):

\[\bm{2\times d=\sum_{n|d}{a_n}} \]

接着进行直角反演(\(Rotate\) \(the\) \(formula\) \(at\) \(right\) \(angles\) \(before\) \(performing\) \(calculations\))

\[2\times d=\frac{\omega d}{n}\times a_n \]

显然消去 \(d\) :

\[\frac{2}{\omega}=\frac{a_n}{n} \]

显然 \(\omega\) 是角速度,这是我们上文在使用直角反演时所产生的,是 \(O(\omega)\) 级别的,所以有

\[\displaystyle\frac{2}{\omega}=\frac{2}{\Theta(\log n)}=\frac{2/\log n}{O()}=\frac{2/\log n}{(O)}=\frac{4}{(O_2)\log n}=4O_{2\log n}\uparrow \]

这样,我们就得到了 \(4\text{ mol}\) 的 \(O_{2\log n}\),

\[\begin{aligned}&O_{2\log n}\xlongequal[\text{催化剂}]{\Delta}\log n\cdot O_2\\&O_{2\log n}\xlongequal[\mathrm{B_2 O_2},\mathrm{B_{20}},\mathrm{K_8He}]{\Theta(2^{n/2})\ {}^{\circ}\text{C}}2\cdot O_{\log n}\end{aligned} \]

联立可以得到 \(2/\log n=O_2/O_{\log n}\),两边取对数:

\[\begin{aligned}&\log 2-\log\log n=2\log O-n\log O\\\implies&\log 2-\log\omega=(2-n)\log O\end{aligned} \]

在 word-RAM model 下可以认为 \(\omega=\Theta(1)\),那么可以得到

\[(2-n)\log O=O(1)=O(n) \]

消去括号及 \(O\),就可以得到 \(2-n\log=n\),移项即得 \(2^{2/n}=2\cdot2^{\log}=2\),解得 \(n=2\),代回 \(\omega\) 的渐进式:

\[\omega=O(\log n)=O(1) \]

可得:

\[n|a_n \]

\[\mathcal{Q.E.D} \]

标签:frac,log,闲话,sum,text,8.23,aligned,omega
From: https://www.cnblogs.com/shen666zxcmt/p/17652723.html

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