【专题一】三角函数，平面向量与复数
这是个人【专题式学习】的第一部分——三角函数，平面向量与复数。
之所以把这三个放在一起，是因为它们联系真的很紧密。（）
三角函数
定义
考虑一个平面直角坐标系中的点 \(P(x,y)\) （\(P\) 不与原点重合），角 \(\alpha\) 的始边为 \(x\) 轴正半轴，终边为射线 \(OP\)。
不妨记 \(\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}\)，
我们定义
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正弦 \(\displaystyle\sin \alpha:=\frac{y}{r}\)
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余弦 \(\displaystyle\cos \alpha:=\frac{x}{r}\)
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正切 \(\displaystyle\cos \alpha:=\frac{y}{x}\) （\(\displaystyle x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）
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余切 \(\displaystyle\cot \alpha:=\frac{x}{y}\) （\(\displaystyle x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）
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正割 \(\displaystyle\sec \alpha:=\frac{r}{x}\) （\(\displaystyle x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）
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余割 \(\displaystyle\csc \alpha:=\frac{r}{y}\) （\(\displaystyle x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）
不妨在单位圆 \(x^2+y^2=1\) 上取点 \(P\)，则此时 \(r=1\)，三角函数简化为
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正弦 \(\displaystyle\sin \alpha:=y\)
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余弦 \(\displaystyle\cos \alpha:=x\)
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正切 \(\displaystyle\cos \alpha:=\frac{y}{x}\) （\(\displaystyle x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）
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余切 \(\displaystyle\cot \alpha:=\frac{x}{y}\) （\(\displaystyle x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）
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正割 \(\displaystyle\sec \alpha:=\frac{1}{x}\) （\(\displaystyle x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）
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余割 \(\displaystyle\csc \alpha:=\frac{1}{y}\) （\(\displaystyle x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）
显然（在实数范围内考虑时）
\(\sin\alpha, \cos\alpha\in\left[-1,1\right]\)，
\(\tan\alpha, \cot\alpha\in\mathbb{R}\)，
\(\sec\alpha, \csc\alpha\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right)\)
以下的自变量取值默认为让三角函数有意义的值。
三角函数线
三角函数的基本关系
乘积为 \(1\)
\[\boxed{\sin x\csc x=1}\tag{1.1} \]\[\boxed{\cos x\sec x=1}\tag{1.2} \]\[\boxed{\tan x\cot x=1}\tag{1.3} \]平方之和
\[\boxed{\sin^2x+\cos^2x=1}\tag{1.4} \]\[\boxed{1+\tan^2x=\sec^2x}\tag{1.5} \]\[\boxed{\cot^2x+1=\csc^2x}\tag{1.6} \]比值关系
\[\boxed{\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}\tag{1.7} \]\[\boxed{\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}}\tag{1.8} \]\[\boxed{\sec x=\frac{1}{\cos x}}\tag{1.9} \]\[\boxed{\csc x=\frac{1}{\sin x}}\tag{1.10} \]（1.1）~（1.10）式可由定义直接得到。
诱导公式
这里就只列出 \(\sin x, \cos x, \tan x\) 的诱导公式啦
\(2k\pi+x\) 型（周期性）
\[\boxed{\sin{(2k\pi+x)}=\sin{x}} \tag{1.11} \]\[\boxed{\cos{(2k\pi+x)}=\cos{x}} \tag{1.12} \]注意这里我没有写出 \(\tan\)，是因为 \(\tan\) 的最小正周期实际上是 \(\pi\)。