基本解
定义
定义1:
考虑常系数的偏微分算子:
其中\(a_{\alpha}\)是常数.如果存在分布\(E\in \mathscr{D}'(\mathbb{R}^n)\),使得:
\[PE=\delta(\mathscr{D}') \]则称\(E\)是偏微分算子\(P(\partial)\)的基本解.
如果\(E\)是\(P\)的一个基本解意味着:
\[\begin{equation*} \boxed{\langle P(\partial),\varphi\rangle=\langle \delta,\varphi\rangle=\varphi(0)} \end{equation*} \]一些自然的问题就要被提出来:
- 基本解有什么用?(为什么要引入基本解?)
- 基本解是否唯一？
- 是否每个偏微分算子都有基本解?如果不是,哪些偏微分算子具有基本解？
现在我们简短的回答这些问题(较为浅显的,不完全的.)
基本解有什么用?
定理 设\(E\)是\(P\)的一个基本解,则我们有：
\[\begin{align*} P(E*f)&=f,f\in \mathscr{E}'\\ u&=E*Pu,u\in \mathrm{E}' \end{align*} \]注意到:
\[ P(E*f)=(PE)*f=\delta*f=f \]又:
\[ E*(Pu)=P(E*u)=u \]因此我们可以看到,如果一个函数是一个具有紧支集的分布,并且我们又能够得到\(P\)的基本解,那么我们就能够得到这个偏微分方程的解.
基本解是否唯一?
一般而言,基本解不是唯一的,如果我们能够找到一个分布\(E_0\)使得:
\[P(\partial)E_0=0 \]那么显然\(E+E_0\)也是一个基本解1
基本解的存在性?
定理 [Malgrange-Ehrenpreis] 如果\(P\ne 0\),则常系数偏微分算子必定有基本解.
这个定理的证明我们后边再证.同时我们也要说明如果偏微分算子不是常系数的那么未必存在基本解.
例子
在讲述比较困难的例子之前,我们先看一些我们本科PDE中三大基本方程的基本解.
热传导方程:为了计算的简洁性我们考虑一维的热传导方程.
\[\begin{equation*} \boxed{\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t),x\in \mathbb{R},t\ge 0} \end{equation*} \]在这里我们可以取偏微分算子为:
\[P_H(\partial)=\partial_t-\partial_x^2 \]我们称其为热算子
定理
热传导算子\(P_H(\partial)\)的基本解为:
这里的\(H(t)\)是Heavisible函数.
1.首先可以验证\(E\)是\(\mathbb{R}^2\)中的局部可积函数,因此可以作为分布.我们现在要证明,对任意的\(\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^2)\)都有:
\[\langle P_H(\partial)E,\varphi\rangle=\delta(\varphi)=\varphi(0,0) \]根据微分的运算,上述的式子等价于证明:
\[-(E,\varphi_t+\varphi_{xx},\varphi)=\varphi(0,0) \]将上述的计算分解为:
\[\begin{equation*} I=I_0+J_0=(E,\varphi_t)+(E,\varphi_{xx}) \end{equation*} \]2.注意到:
\[I_0=\lim_{\varepsilon\to 0}I_{\varepsilon}=\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{\varepsilon}^{+\infty} \frac{e^{-\frac{x^2}{4 t}}}{\sqrt{4 \pi t}} \varphi_t(x, t) d x d t . \]利用分布积分公式就得到了:
\[I_{\varepsilon}=-\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{\varepsilon}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{e^{-\frac{x^2}{4 t}}}{\sqrt{4 \pi t}}\right) \varphi_t(x, t) d x d t+\left.\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{e^{-\frac{x^2}{4 t}}}{\sqrt{4 \pi t}} \varphi(x, t)\right]\right|_{t=\varepsilon} ^{t=+\infty} d x \]注意到\(\varphi\)具有紧支集,因此当\(t\to \infty\)时,\(\varphi(x,t)\to 0\).将偏导数计算出来就可以得到:
\[I_{\varepsilon}=-\frac{1}{4 \sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{\varepsilon}^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{4 t}}\left\{\frac{x^2}{2 t^{\frac{5}{2}}}-\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}\right\} \varphi(x, t) d x d t-\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-\frac{x^2}{4 \varepsilon}}}{\sqrt{4 \pi \varepsilon}} \varphi(x, \varepsilon) d x . \]3.注意到:
\[J_0=\lim_{\varepsilon\to 0}J_{\varepsilon}=\lim_{\varepsilon\to 0}J_{\varepsilon}=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{\varepsilon}^{+\infty} \frac{e^{-\frac{x^2}{4 t}}}{\sqrt{4 \pi t}} \varphi_{x x}(x, t) d x \mathrm{t} \]同样利用分布积分公式就可以得到:
\[J_{\varepsilon}=\frac{1}{4 \sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{\varepsilon}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{4 t}}\left(\frac{x^2}{2 t^{\frac{5}{2}}}-\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}\right) \varphi(x, t) d x d t \]4.综上我们就得到了:
\[I=I_0+J_0=\lim_{\varepsilon\to 0}I_{\varepsilon}+J_{\varepsilon}=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-\frac{x^2}{4 t}}}{\sqrt{4 \pi t}} \varphi(x, \varepsilon) d x . \]做变换\(y=x/2\sqrt{\varepsilon}\),因此我们就得到了:
\[I=\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\mathbb{R}}e^{-y^2}/\sqrt{\pi}\cdot \varphi(2y\sqrt{\varepsilon},\varepsilon)dy=\varphi(0,0) \]故定理得证.
波动方程:同样的,为了简单方便我们也只考虑一维的波动方程:
\[\begin{equation*} \boxed{\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x, t)=c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t),(x,t)\in \mathbb{R}^2} \end{equation*} \]为了简单方便,我们作归一化处理,令\(c=1\).
我们用这个符号表示波动算子(wavw operator):
\[\begin{equation*} \boxed{\square=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}} \end{equation*} \]定理
一维波动算子的基本解为:
1.同样的,我们将定理等价于证明对于任意的\(\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^2)\),都有:
\[(\square E,\varphi)=(E,\varphi_{tt}-\varphi_{xx})=(E,\varphi_{tt})-(E,\varphi_{xx})=I-J \]2.计算\(I\):
\[\begin{aligned} \left\langle E,(\varphi)_{t t}\right\rangle & =\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{|x|}^{+\infty} \varphi_{t t}(x, t) d x d t=\left.\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\varphi_t(x, t)\right]\right|_{t=|x|} ^{t=+\infty} d x \\ & =-\frac{1}{2} \int_{-\infty}^0 \varphi_t(x,-x) d x-\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \varphi_t(x, x) d x \\ & =-\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \varphi_t\left(-x^{\prime}, x^{\prime}\right) d x^{\prime}-\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \varphi_t(x, x) d x \end{aligned} \]3.计算\(J\):
\[\begin{aligned} \left\langle E, \varphi_{x x}\right\rangle & =\frac{1}{2} \int_0^{+\infty}\left(\int_{-t}^t \varphi_{x x}(x, t) d x\right) d t=\left.\frac{1}{2} \int_0^{+\infty}\left[\varphi_x(x, t)\right]\right|_{x=-t} ^{x=t} d t \\ & =\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \varphi_x(t, t) d t-\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \varphi_x(-t, t) d t . \end{aligned} \]4.因此:
\[I-J==-\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \varphi_t(x, x) d x-\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \varphi_t(-x, x) d x-\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \varphi_x(t, t) d t+\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \varphi_x(-t, t) d t . \]注意到如下事实:
\[\begin{gathered} -\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \varphi_t(x, x) d x-\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \varphi_x(t, t) d t=-\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \frac{d \varphi}{d y}(y, y) d y=\frac{1}{2} \varphi(0,0) \\ -\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \varphi_t(-x, x) d x+\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \varphi_x(-t, t) d t=-\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \frac{d \varphi}{d y}(-y, y) d y=\frac{1}{2} \varphi(0,0) \end{gathered} \]故定理得证.
Laplace方程: 考虑:
\[\begin{equation*} \boxed{\Delta =\sum_{i=1}^{n}\partial^2_{i}} \end{equation*} \]在本科PDE中我们已经学习了他的基本解:
\[E(x)= \begin{cases}\dfrac{1}{(2-n) c_n\|x\|^{n-2}} & \text { if } \quad n \neq 2 \\ \dfrac{1}{2 \pi} \log \|x\| & \text { if } \quad n=2\end{cases} \]其中\(||\cdot||\)是欧氏空间中的2范数.
由于他在本科PDE中有专门的证明,我们便不再赘述.
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