【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式

标签：13 Cayley 多项式定理最小 Machine 3.4 零化 Hamliton

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机器学习小白阶段
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3.4 Hamliton-Cayley定理、最小多项式

定义3.19

设 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_04$ 阶方阵，若存在多项式 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_05$ ，使得 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_06$

即 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_07$ 是零矩阵，称 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_05$ 是矩阵 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的零化多项式

（1）对任何 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_04$ 阶方阵 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ ，都存在零化多项式

线性空间 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_12$ 是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_13$ 维的
所以 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_14$ 一定是线性相关的（ $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_15$ ）
故，存在不全为0的数 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_16$ ，使得
$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_17$
即存在一个多项式 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_18$ ，使得
$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_19$
易得 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_18$ 是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_21$ 的零化多项式

（2）任何矩阵的零化多项式不惟一

若 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_18$ 是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_21$ 的零化多项式，则 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_24$ 也是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_21$ 的零化多项式，其中 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_26$ 为任意非零多项式

Hamliton-Cayley定理

设

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_27$

则

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_28$

依据Hamliton-Cayley定理，对于 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_04$ 阶方阵 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$

当 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_31$ 时，计算 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_32$ 可以用小于 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_04$ 的 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的方幂来表示，简化矩阵运算

比如，设

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_35$

试计算 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_36$

解答

由题易得

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_37$

令

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_38$

利用多项式的除法可得

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_39$

即

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_40$

由Hamliton-Cayley定理可知 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_41$ ，得

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_42$

定义3.20

在 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_04$ 阶方阵 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的所有零化多项式中，次数最低的首一多项式，称为 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的最小多项式，记为 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_46$

由Hamliton-Cayley定理定理可知，任意 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_04$ 阶方阵 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的最小多项式是存在的，且次数不超过 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_04$

定理3.4.1

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_04$ 阶方阵 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的任意零化多项式都可以被 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的最小多项式整除

证明

设 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_46$ 是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的最小多项式， $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_55$ 是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的任意一个零化多项式，则有

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_57$

其中 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_58$ 或 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_59$

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_60$ 表示多项式 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_61$ 的次数（最高项的次数）

依据上式，有

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_62$

因为 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_63$ ，得到

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_64$

当 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_58$ 时， $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_66$ ，说明 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_46$ 可以被 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_55$ 整除

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_69$ 这里的0是数字零
$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_64$ 这里的0是矩阵零
$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_64$ 时， $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_72$ 是一个关于 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_73$ 的多项式，不一定是0，这里需要讨论

当 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_74$ 时，若 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_66$

因为 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_59$

所以得到一个次数比 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_46$ 还低的零化多项式，产生矛盾

所以， $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_78$ 一定等于0

综上， $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_04$ 阶方阵 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的任意零化多项式都可以被 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的最小多项式整除，记作 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_82$

定理3.4.2

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的最小多项式是惟一的

证明

一般证明惟一性时，可以先假设同时存在两个满足条件的事例，然后证明二者相等即可

依据题意，假设 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_84$ 都是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的最小多项式

由定理3.4.1 可知

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_86$

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_87$ 都可以相互被整除

即

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_88$

将上述第二个式子代入第一个式子得到

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_89$

第一个式子代入第二个式子同样得到

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_90$

结合 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_91$ 都可以相互被整除且都为首一多项式，可以得到

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_92$

综上， $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的最小多项式是惟一的

定理3.4.3

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的最小多项式的根是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的特征根

反之， $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的特征根必是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的最小多项式的根

证： $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_21$ 的最小多项式的根是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_21$ 的特征根

设 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_46$ 是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的最小多项式， $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_05$ 是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的特征多项式，其中 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_104$

若 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_105$ 是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_46$ 的根，则

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_107$

由定理3.4.1，有

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_108$

因为 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_109$ ，所以有

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_110$

说明 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_111$ 也是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的特征根

证： $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_21$ 的特征根必是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_21$ 的最小多项式的根

设 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_111$ 是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_03$ 的特征根， $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_117$ 是其对应的特征向量，则有

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_118$

进而可得

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_119$

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_120$
…
$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_121$

推出

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_122$

又 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_123$ ，所以

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_107$

说明 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_111$ 是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_46$ 的根

推论

若

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_127$

则

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_128$

其中

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_129$

例题

分别求矩阵

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_130$

的最小多项式

解答

1）求 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_21$ 的最小多项式

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_132$

由推论可知

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_机器学习_46$ 可能是 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_134$ 或者 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_135$

因为 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_136$

所以 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_137$

2）求 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_138$ 的最小多项式

$【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_139$

依据推论

因为 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_1024程序员节_142$

所以 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_算法_143$ 的最小多项式 $【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_矩阵_144$

定理3.4.4

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式_Machine_145

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