泊松求和公式
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{j2\pi f kt} \]证明：
令
可以发现\(g(t)\)是周期为T的周期函数的周期函数。那么对\(g(t)\)进行傅里叶级数展开
\[\begin{aligned} g(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}G_{k}e^{j2\pi f kt} \end{aligned}\]上式的第二行是在一个周期内积分，只有在\(t=0\)时有值。
其中
\[\begin{aligned} G_{k} &= \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}g(t)e^{-j2\pi f kt}dt\\ &= \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)e^{-j2\pi f kt}dt\\ &= \frac{1}{T} \end{aligned}\]所以可得
\[g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{j2\pi f kt} \] 标签：infty,泊松,frac,求和,公式,sum,j2,kt,pi From： https://www.cnblogs.com/vinsonnotes/p/17503478.html