一、填空题
本大题共 8 小题，每小题 10 分，共 80 分.
1.
设 \(f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\)，\(f_1(x)=f(x)\)，\(f_2(x)=f(f_1(x))\)，\(\cdots\)，\(f_n(x) = f(f_{n-1}(x))\)，则 \(f_n(x) = \_\_\_\_\).
2.
记 \(y=\sin x, -\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}\) 的反函数为 \(y = \arcsin x\)，则当 \(-\pi \le x \le \pi\) 时 \(\arcsin(\cos x) = \_\_\_\_\).
3.
设 \(f(x)\) 在区间 \((-1, 1)\) 内有定义，则 \(f(x)\) 能表示成一个偶函数 \(g(x)\) 与一个奇函数 \(h(x)\) 之和，其中 \(g(x) = \_\_\_\_\)，\(h(x) = \_\_\_\_\).
4.
设 \(A = \{(\alpha, \beta, \gamma) \space | \space \alpha + \beta \sin x + \gamma \cos x = 0, x \in (-\infty, +\infty)\}\)， 则集合 \(A\) 的元素的个数 \(m = \_\_\_\_\).
5.
椭圆 \(x^2 + 2y^2 = 3\) 围绕 \(y\) 轴旋转一周得到旋转曲面 \(\Sigma\)，设 \(P(x, y, z)\) 是 \(\Sigma\) 上的一点，则 \(x^2 + 2y^2 + z^2 = \_\_\_\_\).
6.
在 \([0, 1]\) 上存在函数 \(f(x)\) 满足以下条件：
- \(f(x)\) 有反函数；
- \(f(x)\) 在 \([0, 1]\) 的任意的子区间 \([a, b]\) 上都不是单调的.
例如，\(f(x) = \_\_\_\_\).
7.
设 \(f(x) = x - [x] - \tan x\)，其中 \([x]\) 为不超过 \(x\) 的最大整数，则 \(\{T \space | \space f(x + T) = f(x), T \neq 0\} = \_\_\_\_\).
8.
设 \(n, m\) 为正整数，对任意充分小的正数 \(a\)，若 \(n > m\) 是 \(\frac{1}{n} < a\) 的一个充分必要条件，则 \(m\) 和 \(a\) 的关系是 \(m = \_\_\_\_\).
二、解答题
本大题共 4 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.（本小题满分 15 分）
设 \(S_0\) 是以顶点 \(P_0\) 为球心半径为 \(r\) 的球面，\(\pi _0\) 是一个固定平面，\(P_0\) 到 \(\pi _0\) 的距离 \(a > r\)，设 \(S_M\) 是以点 \(M\) 为球心的球面，它与 \(S_0\) 外切并与 \(\pi _0\) 相切，令 \(\Lambda\) 为满足上述条件的球心 \(M\) 构成的集合，设平面 \(\pi\) 与 \(\pi _0\) 平行且在 \(\pi\) 上有 \(\Lambda\) 中的点，设 \(d_\Sigma\) 是平面 \(\pi\) 与 \(\pi _0\) 之间的距离，求 \(d_\Sigma\) 的最小值 \(m\).
2.（本小题满分 15 分）
设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有定义，若
\[f(\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2) \le \alpha f(x_1) +(1 - \alpha)f(x_2) \]对任意的实数 \(x_1, x_2 \in I\) 和任意的 \(\alpha \in (0, 1)\) 恒成立，则称函数 \(f(x)\) 为区间 \(I\) 上的一个凸函数，例如 \(f(x) = e^x\) 是 \((-\infty, \infty)\) 上的一个凸函数.
设 \(p > 1\)，\(q > 1\)，\(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1\)，\(x_k > 0\)，\(y_k > 0\) \((1 \le k \le n)\)，\(a > 0\)，\(b > 0\)，利用上述相关知识证明：
(1)
（Young 不等式）
\[\dfrac{1}{p} a^p + \dfrac{1}{q} b^q \ge ab. \](2)
（Hölder 不等式）
\[\sum_{k = 1}^{n} x_k y_k \le (\sum_{k = 1}^{n} x_k^p) ^ \frac{1}{p} (\sum_{k = 1}^{n} y_k^q) ^ \frac{1}{q}. \]3.（本小题满分 20 分）
设 \(0 \le a_k \le 9\)，$a = 0.a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \cdots $（即 \(a = \dfrac{a_1}{10} + \dfrac{a_2}{10^2} + \dfrac{a_3}{10^3} + \cdots + \dfrac{a_n}{10^n} + \cdots\)），其中 \(a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \cdots\) 中有无限多项不为 \(0\)，则称 \(a\) 为一个十进制无限小数. 设 \(a\) 为一个十进制无限小数，若存在自然数 \(n, k\) 使得 \(a_{n + i} = a_{n + k + i}\) 对任意的自然数 \(i\) 均成立，则称 \(a\) 为一个循环小数；否则称 \(a\) 为一个不循环小数，例如 \(0.19898\cdots98\cdots\) 和 \(0.8 = 0.799\cdots 9\cdots\) 是循环小数，\(\dfrac{\pi}{10} = 0.314159\cdots\) 是一个不循环小数. 已知 \((0, 1]\) 的每一个数均与一个 十进制无限小数一一对应.
(1)
求证：若 \((a, b) \subset (0, 1)\)，则存在循环小数 \(c \in (a, b)\)，即：循环小数在 \((0, 1)\) 中稠密.
(2)
求证：\((0, 1]\) 中所有的数不能排列成一个数列 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_n, \cdots\)，即：\((0, 1]\) 是一个不可数集.
(3)
用分数表示循环小数 \(a = 0.365365 \cdots 365 \cdots\).
4.（本小题满分 20 分）
设 ${a_n} $ 为一个数列，记 $a_1 + a_2 + \cdots a_n + \cdots $ 为 \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} a_n\)，\(S_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} a_k\)，若对任意的正数 \(M\) 均存在相应的自然数 \(N\)，当 \(n > N\) 时 \(S_n > M\)，则称 \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} a_n = +\infty\). 若 \(f : \mathrm Z_+ \to \mathrm Z_+\) 是正整数集 \(\mathrm Z_+\) 上的一个一一对应，则称 \(f(1), f(2), \cdots, f(n), \cdots\) 是 \(\mathrm Z_+\) 的一个重排，称 \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} b_n\)（其中 \(b_n = a_{f(n)}\)）是 \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} a_n\) 的一个重排. 求证：
(1)
\[\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2n - 1} = +\infty. \](2)
存在 \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n - 1}}{n}\) 的一个重排 \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} b_n\)，\(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} b_n = +\infty\).
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