PID自动（反馈）控制

1  自动（反馈）控制

1.1 概述

自动控制（automatic control）是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置，使机器、设备或生产过程的某个工作状态或参数自动地按照预定的规律运行。

1.2 来源与原始形态

自动化控制技术的广泛应用则开始于欧洲的工业革命时期。瓦特在发明蒸汽机的同时，应用反馈原理，于1788年发明了离心式调速器。当负载或蒸汽量供给发生变化时，离心式调速器能够自动调节进气阀的开度，从而控制蒸汽机的转速。

1.3 例子

空调温控，车速控制。

2  PID控制

2.1  闭环自动控制技术的基础

当今的闭环自动控制技术都是基于反馈的概念以减少不确定性。

2.2  反馈理论的要素：测量、比较和执行

测量关键的是被控变量的实际值，与期望值相比较，用这个偏差来纠正系统的响应，执行调节控制。

2.3  PID控制

在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例(proportion)、积分(integral)、微分(derivative)控制，简称PID控制，又称PID调节。

在闭环系统的控制中，可自动对控制系统进行准确且迅速的校正。PID算法已经有100多年历史，在四轴飞行器，平衡小车、汽车定速巡航、温度控制器等场景均有应用。

2.3.1       PID控制原理

r(t)：所需的设定值、目标值；

y(t)：测量的过程输出值、实际值；eg.每0.1s得到的车轮速度。

e(t)：偏差是设定值（目标值）与过程值（实际值）的差（r(t)-y(t))；通过反馈慢慢使之为0。

u(t)：经过计算得到的控制变量，输入到控制器中。

$u(t)=K_p·e(t)+K_d×\frac{e(t)-e(t-1)}{\delta t}$

P : proportion（非负比例系数），就是偏差乘以一个常数。

I : integral（非负积分系数），就是对偏差进行积分运算。

D : derivative（非负微分系数），对偏差进行微分运算。

 eg.控制小车：将小车速度设定值r(t)为3m/s，由光电码盘测得速度为3.2m/s，即过程输出值y(t)；偏差e(t)为-0.2m/s。

P：将-0.2m/s乘以一个系数（正）输入到控制器中，以减小输出的占空比，则车轮转速将降低，向设定值靠近。KP越大则调节的灵敏度越大，但过大可能会使实际速度低于3m/s（超调）。

I：只经过比例调节的小车，可能稳定后的速度为3.1m/s，存在稳态误差-0.1m/s；虽然误差很小，但是因为积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大，从而使稳态误差进一步减小，直到等于0。

D：小车中有些组件存在较大惯性或者滞后性，其变化总是落后于误差的变化。假设经比例调节后实际速度为3.1m/s，则设定速度与实际速度的差值由-0.2m/s变为-0.1m/s，e(t)的差分为0.1m/s2，将此差分乘以系数（正）加到控制变量中，相比只有比例环节减缓了速度降低的趋势（减小超调量）。

上表是独立增加参数的影响

2.3.2  PID数学表达

$u(t)=K_pe(t)+K_d\frac{de(t)}{dt}+K_i\int_t^0e(t')dt'$

$K_p,K_i,K_d$都是非负的，先$K_p$(比例项，调整效果最大)，再$K_d$（微分项），最后$K_i$（积分项，消除误差）

2.3.1      PID参数整定

1.PID参数调整特点

难点不是编程，而是控制器的参数整定。

输入r(t)为阶跃响应。下图为不同参数下的输出y(t)响应。

理想：稳定、振高少、收敛快

① $K_p$增加，$K_i$ 、$K_d$不变

②$K_p$不变，$K_i$ 增加（少量增加），$K_d$不变

③$K_p$、$K_i$不变，$K_d$增加

PID系统输出影响：

（1）增大比例系数 使系统反应灵敏，调节速度加快，并且可以减小稳态误差。

但比例系数过大会使超调量增大，振荡次数增加，调节时间加长，动态性能变坏，比例系数太大甚至会使闭环系统不稳定。

（2）增大微分系数 可以减小超调量和稳定时间。

（3）增大积分系数 会减小稳态误差，但会增大超调量和稳定时间。

2.3.4  离散型PID

在计算机上进行PID调节时只能用离散型PID。

假设采样间隔为T，则在第kT时刻： 

偏差$e(k) = r(k) - y(k)$

积分环节用加和的形式表示，即$e(k) + e(k-1) + …$

差分环节用斜率的形式表示，即$e(k) - e(k-1)$

从而有位置式PID ：

 $u(k)=K_pe(k)+K_d\frac{e(k)-e(k-1)}{\delta t}+K_i·\sum_{j=1}^k e(j)$

由两次的u(k)相减可以得到增量式PID:

 $\delta u(k) = u(k) - u(k-1)=K_p[]+K_Ie(k)+K_D[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)]$

（1）增大比例系数 使系统反应灵敏，调节速度加快，并且可以减小稳态误差。

但是比例系数过大会使超调量增大，振荡次数增加，调节时间加长，动态性能变坏，比例系数太大甚至会使闭环系统不稳定。

（2）增大微分系数 可以减小超调量和稳定时间。

（3）增大积分系数 会减小稳态误差，但会增大超调量和稳定时间。

PID中三个参数，大体对应于控制系统的三个最重要的方面：

P对应“稳”，即稳定性，放大控制作用；I对应“准”，消除稳态误差；D对应“快”，对误差进行预判、做出快速反应。

用控制器使一锅水的温度保持在50℃

1. Kp比例增益

Kp比例控制考虑当前误差，误差值和一个正值的常数Kp（表示比例）相乘。需要控制的量，比如水温，有它现在的当前值，也有我们期望的目标值。

①  当两者差距不大时，就让加热器“轻轻地”加热。

②  要是因为某些原因，温度降低了很多，就让加热器“稍稍用力”加热。

③ 要是当前温度比目标温度低得多，就让加热器“开足马力”加热，尽快让水温到达目标附近。

Kp越大，调节作用越激进，Kp调小会让调节作用更保守。

2. Kd微分增益

Kd微分控制考虑将来误差，计算误差的一阶导，并和一个正值的常数Kd相乘。

当比较接近目标时，P的控制作用就比较小了，越接近目标，P的作用越小。当有很多内在的或者外部的因素，使控制量发生小范围的摆动。由于P在接近目标时的作用小，整个系统不是特别稳定，总是在“抖动”，因此需要一个控制作用，让被控制的物理量的“变化速度”趋于0，即类似于“阻尼”的作用。

D的作用就是让物理量的速度趋于0，只要什么时候，这个量具有了速度，D就向相反的方向用力，尽力刹住这个变化。Kd参数越大，抑制能力就越强。

3. Ki积分增益

Ki积分控制考虑过去误差，将误差值过去一段时间和（误差和）乘以一个正值的常数Ki。设置一个积分量，只要偏差存在，就不断地对偏差进行积分（累加），并反应在调节力度上。

即使与目标值相差不是太大，但是随着时间的推移，只要没达到目标，这个积分量就不断增加。到了目标温度后，假设没有波动，积分值就不会再变动。

Ki的值越大，积分时乘的系数就越大，积分效果越明显，所以，I的作用就是，减小静态情况下的误差，让受控物理量尽可能接近目标值。

 【走直线的问题】

小车差分驱动（左、右轮分别用电机驱动，通过改变两个电机的转速实现小车前进和转向）仍是主流。两个电机驱动有差异且不可能完全相同，导致两个轮子转速不同，就使得小车本该直线行驶的轨迹发生偏移。运转过程中的扰动，如轮子瞬间打滑、有微小的障碍物等因素，都会导致左右轮不同速，从而“走偏”。