导数定义
物体运动的速度：非匀速。
运动的距离：\(f(t)-f(t_{0})\)
从 \(t\) 到 \(t_{0}\) 的平均速度：
\[\lim_{t\to t_{0}}\frac{f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}=v \]\(y=f(x)\) 在 \(x_{0}\) 的领域内有定义，在 \(x\) 处取一个增量 \(\Delta x\)，\(\Delta y = f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\)，如果
\[\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} \]存在，则称函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处可导，并且称这个极限为函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处的导数，记为：\(f'(x_{0})\)，即
\[f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} \]也可以记作：\(y'|_{x=x_0}\)，\(\frac{dy}{dx}\big|_{x=x_{0}}\) 或 \(\frac{df(x)}{dx}\big|_{x=x_{0}}\)。
\[\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} \]\[\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \]以上为导数的三种定义。
当 \(f(x)\) 在一开区间内任意一点都可导的时候，此时 \(f(x)\) 称为导函数。
\(f'(x),y', \frac{dy}{dx},\frac{df(x)}{dx}\)。
常用求导公式
\(f(x)=c\) ，\(c\) 为常数，\(\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0\)，\((c)'=0\)
常数求导为 \(0\)。
\(f(x)=x^{n}\)，当 \(n=1\) 时，\(\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h}=1\)， \((x)'=1\)。
当 \(n>1\) 时，\(\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=\lim_{h\to 0}[nx^{n-1}+\dots h^{n-1}]=nx^{n-1}\)。
所以：
\[(x^{n})'=\left\{\begin{matrix} 1&n=1\\nx^{n-1}&n>1 \end{matrix}\right. \]\(f(x)=x^{\mu}(\mu\in \text{R})\)
\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^{\mu}-x^{\mu}}{h} =(x^{\mu})'=\mu x^{\mu - 1} \]\((\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\)
\(f(x)=\sin x\)
\[\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}2\cos(x+\frac{h}{2})\sin\frac{h}{2}= \cos x \]\[(\sin x)'= \cos x \]\[(\cos x)'=-\sin x \]\((a^{x})'=a^{x}\ln a\)
\((\log_{a}x)'=\frac{1}{x\ln a}\)
\((\ln x)'=\frac{1}{x}\)
\((e^{x})'=e^{x}\)
\(y=|x|\) 求 \(x=0\) 时的导数。
\[\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{-h-0}{h}=-1 \]\[\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{h-0}{h}=1 \]单侧导数
从某侧逼近的导数。
左导数：
\[f'_{-}(x_{0})\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} \]右导数：
\[f'_{+}(x_{0})\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} \]经典例子：\(y=|x|\).
\(f'_{+}(0)=1,f'_{-}(0)=-1\)
在某点可导的充要条件是左右导数都存在且相等。
如果函数 \(f(x)\) 在开区间 \((a,b)\) 内可导，且 \(f'_{-}(b)\) 以及 \(f'_{+}(a)\) 都存在，那么就说函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上可导。
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