标签：lfloor right 筛法狄利克卷积 dfrac sum mathrm left

狄利克雷卷积

概念

对于数论函数 \(f,g\)，定义其狄利克雷卷积 \(h=f*g\)，满足：

\[h(n)=(f*g)(n)=\sum_{d\mid n} f(d)g\left(\dfrac{n}{d}\right) \]

运算律：

满足交换律，显然具有对称性。
满足结合律，等价于三个 \(d_i\) 贡献到 \(n\)。
满足加法的分配率。

常见数论函数：

\(\mathrm{I}\)，常函数，值恒为 \(1\)。
\(\mathrm{Id}_k\)，幂函数，值为 \(n^k\)。
\(\epsilon\)，狄利克雷卷积的单位元，除 \(\epsilon(1)=1\) 外其余均为 \(0\)。
\(\mu\)，莫比乌斯函数，狄利克雷卷积的逆元。
\(\varphi\)，欧拉函数。
\(\sigma_k\)，除数函数，定义 \(\sigma_k(n)=\sum_{d\mid n}d^k\)。

常见数论函数卷积变换

\(\mu *\mathrm{I}=\epsilon\)
\(\varphi *\mathrm{I}=\mathrm{Id}\)
\(\mathrm{Id}_k *\mathrm{I}=\sigma_k\)
\(\mu* \mathrm{Id}=\varphi\)
\((\mu \cdot \mathrm{Id}_k)*\mathrm{Id}_k=\epsilon\)
\((\varphi\cdot \mathrm{Id}_k)*\mathrm{Id}_k=\mathrm{Id}_{k+1}\)

杜教筛

原理

求数论函数前缀和。

设 \(h=f*g,S=\sum f\)，容易推得：

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n h(i)&=\sum_{i=1}^n \sum_{j\mid i} f(j)g\left(\dfrac{i}{j}\right)\\ &=\sum_{j=1}^n g(j)\sum_{i=1}^{\left\lfloor n/i\right\rfloor} f(i)\\ &=\sum_{i=1}^n g(i)S_f\left(\left\lfloor \dfrac{n}{i}\right\rfloor\right) \end{aligned} \]

整理一下可以写成：

\[S_f(n)=\sum_{i=1}^n h(i)-\sum_{i=2}^{n} g(i)S_f\left(\left\lfloor \dfrac{n}{i}\right\rfloor\right) \]

如果构造出可以快速计算前缀和的函数 \(g,h\)，就可以递归求解了。

时间复杂度

首先需要证明的是：

\[\left\lfloor\dfrac{\left\lfloor\tfrac{n}{a}\right\rfloor}{b}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{n}{ab}\right\rfloor \]

设 \(\mathrm{RHS}=k\)，则有：

\[k\times ab\le n<(k+1)\times ab \]

于是：

\[k\times b\le \dfrac{n}{a}<(k+1)\times b \]

从而：

\[k\times b\le \left\lfloor\dfrac{n}{a}\right\rfloor<(k+1)\times b \]

\[k\le \dfrac{\left\lfloor\tfrac{n}{a}\right\rfloor}{b}<k+1 \]

即：

\[\left\lfloor\dfrac{\left\lfloor\tfrac{n}{a}\right\rfloor}{b}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{n}{ab}\right\rfloor \]

这说明当我们整除分块向下递归时，递归到 \(n'=\left\lfloor \dfrac{n}{d}\right\rfloor\)，枚举 \(d'\) 得到 \(\left\lfloor \dfrac{n'}{d'}\right\rfloor=\left\lfloor \dfrac{\left\lfloor \tfrac{n}{d}\right\rfloor}{d'}\right\rfloor\)，一定可以表示为 \(\left\lfloor \dfrac{n}{k}\right\rfloor\) 的形式，而这一定在第一层递归时处理到（不考虑先后顺序），于是在记忆化的加持下，计算复杂度只需要考虑第一层递归即可。

设当前块长 \(i\)，对复杂度的贡献就是 \(O\left(\sqrt{\dfrac{n}{i}}\right)\)。

当 \(i> \sqrt{n}\) 时，第二层最大 \(O(n^{1/4})\)，所以总复杂度 \(O(n^{3/4})\)。

当 \(i\le \sqrt{n}\) 时，就写成：

\[\begin{aligned} T(n)&=O\left(\sum_{i=1}^{\sqrt{n}} \sqrt{\dfrac{n}{i}}\right)\\ &=O\left(\sqrt{n}\int_{1}^n \dfrac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d}x\right)\\ &=O(n^{3/4}) \end{aligned} \]

但较小的前缀和是可以预处理出的，假设预处理出了 \([1,n^k]\) 的前缀和，那么也就是只有 \(\dfrac{n}{i}>n^k\) 的部分才需要递归，也就变成：

\[\begin{aligned} T(n)&=O\left(n^k+\sum_{i=1}^{n^{1-k}} \sqrt{\dfrac{n}{i}}\right)\\ &=O\left(n^k+\sqrt{n}\int_{1}^{n^{1-k}} \dfrac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x\right)\\ &=O(n^k+n^{1-k/2}) \end{aligned} \]

取 \(k=\dfrac{2}{3}\) 得到理论最优复杂度 \(O(n^{2/3})\)。

整除分块时（无论嵌套几层）使用杜教筛求数论函数前缀和，由于所有询问的区间右端点为 \(\left\lfloor \dfrac{n}{\left\lfloor \tfrac{n}{d}\right\rfloor}\right\rfloor\)，可以表示为上述记忆化的形式，所以并不会增加复杂度。

点击查看代码


namespace Phi{
    int pr[maxn],mn[maxn],mnpw[maxn],phi[maxn];
    bool vis[maxn];
    ull s1[maxn],s2[maxn];
    bool mark[maxn];
    inline void linear_sieve(){
        mn[1]=1,phi[1]=1;
        for(int i=2;i<=lim;++i){
            if(!vis[i]) pr[++pr[0]]=i,mn[i]=i,mnpw[i]=i,phi[i]=i-1;
            for(int j=1;j<=pr[0]&&i*pr[j]<=lim;++j){
                vis[i*pr[j]]=1,mn[i*pr[j]]=pr[j];
                if(mn[i]==pr[j]) mnpw[i*pr[j]]=mnpw[i]*pr[j];
                else mnpw[i*pr[j]]=pr[j];
                if(i*pr[j]==mnpw[i*pr[j]]) phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];
                else phi[i*pr[j]]=phi[i*pr[j]/mnpw[i*pr[j]]]*phi[mnpw[i*pr[j]]];
                if(i%pr[j]==0) break;
            }
        }
        for(int i=1;i<=lim;++i) s1[i]=s1[i-1]+phi[i];
    }
    ull get_sum(int N){
        if(N<=lim) return s1[N];
        if(mark[n/N]) return s2[n/N];
        mark[n/N]=1;
        ull sum=0;
        for(unsigned int l=2,r;l<=N;l=r+1){
            r=N/(N/l);
            sum+=1ull*(r-l+1)*get_sum(N/l);
        }
        if(N&1) sum=1ull*(N+1)/2*N-sum;
        else sum=1ull*N/2*(N+1)-sum;
        return s2[n/N]=sum;
    }
    inline ull solve(){
        memset(mark,0,sizeof(mark));
        return get_sum(n);
    }
}

namespace Mu{
    int pr[maxn],mu[maxn];
    bool vis[maxn];
    int s1[maxn],s2[maxn];
    bool mark[maxn];
    inline void linear_sieve(){
        mu[1]=1;
        for(int i=2;i<=lim;++i){
            if(!vis[i]) pr[++pr[0]]=i,mu[i]=-1;
            for(int j=1;j<=pr[0]&&i*pr[j]<=lim;++j){
                vis[i*pr[j]]=1,mu[i*pr[j]]=-mu[i];
                if(i%pr[j]==0){
                    mu[i*pr[j]]=0;
                    break;
                }
            }
        }
        for(int i=1;i<=lim;++i) s1[i]=s1[i-1]+mu[i];
    }
    int get_sum(int N){
        if(N<=lim) return s1[N];
        if(mark[n/N]) return s2[n/N];
        mark[n/N]=1;
        ull sum=0;
        for(unsigned int l=2,r;l<=N;l=r+1){
            r=N/(N/l);
            sum+=(r-l+1)*get_sum(N/l);
        }
        sum=1-sum;
        return s2[n/N]=sum;
    }
    inline int solve(){
        memset(mark,0,sizeof(mark));
        return get_sum(n);
    }
}

常用构造

最常用的是 \(\mu *\mathrm{I}=\epsilon\) 以及 \(\varphi *\mathrm{I}=\mathrm{Id}\)。

在此基础上有：\((\mu\cdot \mathrm{Id}_k)*\mathrm{Id}_k=\epsilon\)，\((\varphi\cdot \mathrm{Id}_k) * \mathrm{Id}_{k}=\mathrm{Id}_{k+1}\)。

另外根据 \(\sigma_k\) 的定义有 \(\mathrm{Id}_k*\mathrm{I}=\sigma_k\)。

例题

Luogu-P5218 无聊的水题 II

容易发现是要求选出一个集合满足 \(\gcd=1\)。

设 \(F(n)\) 为值域 \([1,n]\) 的方案数，那么 \(\gcd=k\) 就是 \(F\left(\left\lfloor \dfrac{n}{k}\right\rfloor\right)\)，可以单步容斥。

\[F(n)=2^n-1-\sum_{k=2}^n F\left(\left\lfloor \dfrac{n}{k}\right\rfloor\right) \]

式子长得像杜教筛，复杂度 \(O(n^{3/4})\) 不太好过。

考虑设 \(f(d)\) 为 \(\gcd=d\) 的方案数，\(g(d)\) 为 \(d \mid \gcd\) 的方案数，则 \(g(d)=2^{\left\lfloor n/d\right\rfloor}-1\)，且有：

\[g(d)=\sum_{d\mid n} f(n) \]

根据莫比乌斯反演有：

\[f(d)=\sum_{d\mid n} \mu\left(\dfrac{n}{d}\right) g(n) \]

所以：

\[f(1)=\sum_{i=1}^n \mu(i)g(i)=\sum_{i=1}^n \mu(i)(2^{\left\lfloor n/i\right\rfloor}-1) \]

杜教筛预处理+整除分块即可，使用光速幂复杂度 \(O(n^{2/3})\)。

LOJ-6229 这是一道简单的数学题

把 \(j\) 的上下界改成 \([1,n]\)，处理一下 \(i=j\) 的情况即可。

简单反演得到：

\[\sum_{T=1}^n\sum_{d\mid T} \mu(d)d^2 S_1\left(\left\lfloor \dfrac{n}{d}\right\rfloor\right)^2 \]

\(S_1(x)\) 是 \(1\) 次自然数幂和。

于是要求 \(\sum_{d\mid n} \mu(d)d^2\) 的前缀和，不难发现这个函数是 \((\mu \cdot \mathrm{Id}_2)* \mathrm{I}\)，根据狄利克雷卷积的交换律以及结合律，可以得到 \((\mu \cdot \mathrm{Id}_2)*\mathrm{I}*\mathrm{Id}_2=(\mu \cdot \mathrm{Id}_2)*\mathrm{Id}_2*\mathrm{I}=\epsilon*\mathrm{I}=\mathrm{I}\)。

于是有：

\[S_f(n)=n-\sum_{i=2}^{n} i^2S_f\left(\left\lfloor \dfrac{n}{i}\right\rfloor\right) \]

杜教筛处理即可。

LOJ-6491 XXOI2018 简单的最大公约数

和上面的题差不多，先设 \(f(m)\) 表示值域 \([1,m]\)，\(n\) 个数 \(\gcd=1\) 的方案数，答案是 \(\sum_{k=1}^m k\times f\left(\left\lfloor \dfrac{m}{k}\right\rfloor\right)\)，最终求解用整除分块。

\[f(m)=m^n-\sum_{i=2}^m f\left(\left\lfloor \dfrac{m}{i}\right\rfloor\right) \]

直接算还是 \(O(n^{3/4})\)。

希望预处理一些 \(f\)。

依旧是莫比乌斯反演，把 \(f(m,k)\) 扩充到值域 \([1,m]\)，\(\gcd=k\) 的方案数，\(g(m,k)\) 定义为值域 \([1,m]\)，\(k\mid \gcd\) 的方案数，于是反演得到：

\[g(m,k)=\left\lfloor \dfrac{m}{k}\right\rfloor^{n} \]

\[f(m,k)=\sum_{k\mid m'} \mu\left(\dfrac{m'}{k}\right) \left\lfloor \dfrac{m}{m'}\right\rfloor^{n} \]

只关心 \(k=1\)，所以有：

\[f(m)=\sum_{k=1}^m \mu(k) \left\lfloor \dfrac{m}{k}\right\rfloor^{n} \]

这个直接求一行比较困难，考虑差分：

\[\begin{aligned} \Delta f(m)&=f(m)-f(m-1)\\ &=\sum_{k=1}^m \mu(k) \left(\left\lfloor \dfrac{m}{k}\right\rfloor^{n}-\left\lfloor \dfrac{m-1}{k}\right\rfloor^{n}\right) \end{aligned} \]

分析一下什么时候 \(\left\lfloor \dfrac{m}{k}\right\rfloor\neq \left\lfloor \dfrac{m-1}{k}\right\rfloor^{n}\)，显然一定是 \(k\mid m\)，即 \(m\) 恰好到了下一个块里。

于是这个预处理就是调和级数 \(O(n\log n)\) 的，由于 \(\mu\) 的性质，实际产生贡献的会更少。

这样大致处理 \(2\times 10^6\) 左右，再套类似杜教筛的东西就可以通过了。

另一个做法是使用欧拉反演，即利用 \(\varphi *\mathrm{I}=\mathrm{Id}\) 的性质，可以得到：

\[\begin{aligned} &\sum_{i_1=1}^m\sum_{i_2=1}^m\cdots\sum_{i_n=1}^m \gcd(i_1,i_2,\cdots,i_n)\\ =&\sum_{i_1=1}^m\sum_{i_2=1}^m\cdots\sum_{i_n=1}^m \sum_{d\mid \gcd(i_1,i_2,\cdots,i_n)} \varphi(d)\\ =&\sum_{d=1}^m \varphi(d) \left\lfloor\dfrac{m}{d}\right\rfloor^n \end{aligned} \]

杜教筛朴素计算即可。

PN 筛

Powerful Number

定义一个数 \(n\) 是 Powerful Number(PN) 当且仅当 \(n=\prod_{p\in \mathbf{P}} p_i^{c_i},c_i>1\)。

每个 PN 一定可以被唯一表示为 \(a^2b^3\) 的形式，次数为偶数的放在 \(a\) 部分，次数为奇数的将 \(3\) 次放在 \(b\) 部分，剩余放在 \(a\) 部分。

于是可以通过，，枚举 \(a\) 的值来计算 PN 的个数，大致是：

\[O\left(\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}\sqrt[3]{\dfrac{n}{i^2}}\right)=O\left(\int_1^{\sqrt{n}} \sqrt[3]{\dfrac{n}{i^2}}\right)=O(\sqrt{n}) \]

所以可以通过 DFS 来得出所有 PN。

求积性函数前缀和

以模板题为例。

给定积性函数 \(f\)，求其前缀和。

考虑构造积性函数 \(g\)，满足 \(g(p)=f(p)\)，这里 \(g(p)=f(p)=p(p-1)\)，可以构造 \(g=\varphi\cdot\mathrm{Id}\)。

再找到积性函数 \(h\)，满足 \(f=g*h\)，由于 \(f(p)=g(1)h(p)+g(p)h(1)\)，积性函数 \(1\) 处点值一定为 \(1\)，所以 \(f(p)=h(p)+g(p)\)，即 \(h(p)=0\)，这样所有可以被质因子筛到的点值处都是 \(0\)，也就是所有非 PN 点值都是 \(0\)。

这样化简 \(f\) 前缀和的式子：

\[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n f(i)\\ =&\sum_{i=1}^n \sum_{j\mid i}g(i)h\left(\dfrac{i}{j}\right)\\ =&\sum_{i=1}^n h(i)S_g\left(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\right)\\ =&\sum_{\substack{i=1\\ \text{i is PN}}}^n h(i)S_g\left(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\right) \end{aligned}\]

\(g\) 的前缀和可以用杜教筛求出（有更优秀的也可以），计算答案在 DFS 求出所有 PN 时进行，其中求 \(h\) 可以求出所有 \(h(p^c)\) 再累乘。

求 \(h(p^c)\) 最常规的办法是利用 \(f=g*h\)，移项得到 \(h(p^c)=f(p^c)-\sum_{i=0}^{c-1} h(p^i)g(p^{c-i})\)。

点击查看代码

ll n;
int pr[maptrn],phi[maptrn];
bool vis[maptrn];
int s1[maptrn],s2[maptrn];
bool mark[maptrn];
int pw[maptrn/10][40],h[maptrn/10][40];
inline void linear_sieve(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=lim;++i){
        if(!vis[i]) pr[++pr[0]]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=pr[0]&&i*pr[j]<=lim;++j){
            vis[i*pr[j]]=1,phi[i*pr[j]]=phi[i]*phi[pr[j]];
            if(i%pr[j]==0){
                phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];
                break;
            }        
        }
    }
    for(int i=1;i<=lim;++i) s1[i]=(s1[i-1]+1ll*i*phi[i]%mod)%mod;
    for(int i=1;i<=pr[0];++i){
        pw[i][0]=1,h[i][0]=1;
        for(ll j=pr[i],e=1;;j*=pr[i],++e){
            pw[i][e]=j%mod;
            int now=1ll*pw[i][e]*(pw[i][e]-1)%mod;
            for(int k=0;k<e;++k){
                now=(now-1ll*h[i][k]*(pr[i]-1)%mod*pw[i][e-k-1]%mod*pw[i][e-k]%mod+mod)%mod;
            }
            h[i][e]=now;
            if(j>n/pr[i]) break;
        }
    }
}
int get_sumg(ll N){
    if(N<=lim) return s1[N];
    if(mark[n/N]) return s2[n/N]; 
    mark[n/N]=1;
    int tmpn=N%mod;
    int res=1ll*tmpn*(tmpn+1)%mod*(2ll*tmpn%mod+1)%mod*inv6%mod;
    for(ll l=2,r;l<=N;l=r+1){
        r=N/(N/l);
        int tmpl=(l-1)%mod,tmpr=r%mod;
        int now=(1ll*tmpr*(tmpr+1)/2-1ll*tmpl*(tmpl+1)/2)%mod;
        res=(res-1ll*now*get_sumg(N/l)%mod+mod)%mod;
    }
    return s2[n/N]=res;
}
int ans;
void dfs(ll N,int ptr,int res){
    ans=(ans+1ll*res*get_sumg(n/N)%mod)%mod;
    if(ptr>pr[0]) return;
    for(int i=ptr;i<=pr[0];++i){
        if(N>n/(1ll*pr[i]*pr[i])) break;
        for(ll j=N*pr[i]*pr[i],e=2;;j*=pr[i],++e){
            dfs(j,i+1,1ll*res*h[i][e]%mod);
            if(j>n/pr[i]) break;
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%lld",&n);
    linear_sieve();
    dfs(1,1,1);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

复杂度分析

求 \(g\) 前缀和复杂度认为是杜教筛复杂度 \(O(n^{2/3})\)。

只预处理 \([1,\sqrt{n}]\) 的质数，每个质数枚举 \(p^c\) 并计算 \(h\) 的复杂度是 \(O(\log^2 n)\)，素数密度 \(\pi(n)=O\left(\dfrac{n}{\log n}\right)\)，所以总复杂度是 \(O(\sqrt{n}\log n)\)，实际这个上界比较松。

于是得到大致是 \(O(n^{2/3})\) 的复杂度。

算法流程总结

用积性函数拟合出合适的 \(g\)。
构造快速求 \(g\) 前缀和的方法。
预处理出 \(h(p^c)\)。
DFS 出所有 PN 并计算答案。

例题

LOJ-6053 简单的函数

除了 \(2\) 以外的 \(p\) 处点值是 \(p-1\)，先不考虑特例的话拟合成 \(\varphi\) 是非常好的，在此基础上 \(\varphi(2)=1\)，所以将 \(2\) 的倍数处拟合成 \(3\varphi\)。（肯定不是 \(\varphi+2\) 吧）

\[g(n)=\begin{cases}3\varphi(n)&2\mid n\\\varphi(n)&2\nmid n\end{cases} \]

把 \(\varphi\) 提出一个会好一点，顺便把系数也带出来：

\[l(n)=\begin{cases}\varphi(n)&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases} \]

于是 \(g(n)=\varphi(n)+2l(n)\)，也即 \(S_g(n)=S_\varphi(n)+2S_l(n)\)。

注意到 \(S_l(n)\) 有意义的 \(n\) 都是偶数，可以用一个 \(S(n)=\sum_{i=1}^n \varphi(2i)\) 来代替，即 \(S_l(n)=S\left(\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor\right)\)。

把 \(\varphi(2n)\) 详写成关于 \(n\) 的：

\[\varphi(2n)=\begin{cases}2\varphi(n)&2\mid n\\\varphi(n)&2\nmid n\end{cases} \]

参照上面的化简方法，得到：

\[\varphi(2n)-\varphi(n)=\begin{cases}\varphi(n)&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases} \]

这个和 \(l\) 一模一样，这里当然再把 \(S_l\) 换成 \(S\)。

\[S(n)=S_\varphi(n)+S\left(\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor\right) \]

放回最初的式子 \(S_g(n)=S_\varphi(n)+2S_h(n)=S_\varphi(n)+2S\left(\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor\right)\)，这样一直把 \(S\) 展开，就是一个倍增的形式，单次计算是 \(O(\log n)\)，所求点值都在杜教筛射程范围内。

构造的另一函数 \(h\) 就是朴素的 \(O(\sqrt{n}\log n)\) 预处理。

根据 PN 的数量级和预处理的复杂度，总体仍是 \(O(n^{2/3})\)。

Min_25 筛

Min_25 筛是一种基于埃筛的筛法，可以对数论函数 \(f(n)\) 求前缀和，要求 \(f(p)\) 是关于 \(p\) 的低次多项式，且 \(f(p^k)\) 可快速计算。

构造质数点值前缀和函数

在求解的开始，先用线性筛筛出小于等于 \(\sqrt{n}\) 的质数，定义 \(\mathrm{minp}(i)\) 表示 \(i\) 的最小质因子。

设 \(g(n)=\sum_{p\in \mathbf{P},p\le n} f(p)\)，这个式子不好直接求，先设 \(g_k(n)=\sum_{p\in \mathbf{P},p\le n} p^k\)，即 \(g(n)=\sum_{k} a_kg_k(n)\)，其中 \(a_k\) 是 \(f(p)\) 这个关于 \(p\) 的低次多项式 \(k\) 次项系数。

设 \(g_k(n,j)=\sum_{i=1}^n i^k[i\in\mathbf{P}\lor\mathrm{minp}(i)>p_j]\)，这个定义相当于埃筛筛掉了含小于等于 \(p_j\) 质因子的合数，容易发现找到最小的质数 \(p_x\) 满足 \(p_x\ge \sqrt{n}\)，那么 \(g_k(n)=g_k(n,x)\)，因为此时不再有最小值因子大于 \(p_x\) 的合数。

考虑递推，有：

\[g_k(n,j)= \begin{cases} g_k(n,j-1)&p_j^2\ge n\\ g_k(n,j-1)-p_j^k\left(g\left(\left\lfloor\dfrac{n}{p_j}\right\rfloor,j-1\right)-g(p_{j-1,j-1})\right)&p_j^2<n \end{cases} \]

第二个递推式实际上就是把 \(\mathrm{minp}(i)=p_j\) 的数拆成 \(p_j\) 和另一部分的乘积，这一部分就表现在 \(g\left(\left\lfloor\dfrac{n}{p_j}\right\rfloor,j-1\right)\) 中，但这里面还包含了质数，所以要减去。

于是只关心 \(O(\sqrt{n})\) 个块筛位置的点值，而 \(p_{j-1}\le \sqrt{n}\)，所以一定可以被块筛筛到，这样计算复杂度也是经典方法了，具体是：

\[\begin{aligned} &O\left(\sum_{i=1}^{\sqrt{n}} \pi(\sqrt{i})+\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}\pi\left(\sqrt{\dfrac{n}{i}}\right)\right)\\ =&O\left(\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}\pi\left(\sqrt{\dfrac{n}{i}}\right)\right)\\ =&O\left(\int_1^{\sqrt{n}} \dfrac{\sqrt{\tfrac{n}{x}}}{\log \sqrt{\tfrac{n}{x}}} \mathrm{d}x\right)\\ =&O\left(\dfrac{\sqrt{n}\displaystyle\int_1^{\sqrt{n}} \dfrac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x}{\log n}\right)\\ =&O\left(\dfrac{n^{3/4}}{\log n}\right) \end{aligned}\]

构造前缀和函数

方法一：递归

设 \(S(n)=\sum_{i\le n}f(i)\)，仿照上面，扩充 \(S\) 的定义为 \(S(n,j)=\sum_{i\le n}f(i)[\mathrm{minp}(i)>p_j]\)，这样答案就是 \(S(n,0)+1\)。

直接递归，式子是：

\[S(n,j)=g(n)-g(p_j)+\sum_{\substack{p_j<p_k\le \sqrt{n}\\p_k^2\le p_k^{e+1}\le n}} f(p_k^e)S\left(\left\lfloor\dfrac{n}{p_k^e}\right\rfloor,k\right)+f(p_k^{e+1}) \]

就是分质数合数来计算，后半部分相当于枚举了一个最小值因子及幂次，然后递归求解，\(f(p_k^{e+1})\) 的加入源于 \(S\) 并不计算 \(1\) 的点值，因此要补充计算，而 \(f(p_k)\) 已经在质数处算过了。

复杂度证明见论文，结论是复杂度为 \(O(n^{1-\epsilon})\)，但 \(n\le 10^{13}\) 时为 \(O\left(\dfrac{n^{3/4}}{\log n}\right)\)。

实现常数很小，但只能求单点。

点击查看代码

inline int S1(ll N){
    N%=mod;
    return N*(N+1)%mod*inv2%mod;
}
inline int S2(ll N){
    N%=mod;
    return N*(N+1)%mod*(2*N+1)%mod*inv6%mod;
}
inline int f(ll N){
    N%=mod;
    return N*(N-1+mod)%mod;
}

ll n;
int lim;
int pr[maxn],cntpr;
bool vis[maxn];
ll id[maxn<<1];
int id1[maxn],id2[maxn];
int g1[maxn<<1],g2[maxn<<1];

inline int get_id(ll N){
    if(N<=lim) return id1[N];
    else return id2[n/N];
}

inline void linear_sieve(){
    for(int i=2;i<=lim;++i){
        if(!vis[i]) pr[++cntpr]=i;
        for(int j=1;j<=cntpr&&i*pr[j]<=lim;++j){
            vis[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0) break;
        }
    }
}

int S(ll N,int j){
    if(pr[j]>=N) return 0;
    int res=0;
    res=(g1[get_id(N)]-g1[get_id(pr[j])]+mod)%mod;
    for(int k=j+1;k<=cntpr&&1ll*pr[k]*pr[k]<=N;++k){
        ll now=pr[k];
        for(int e=1;now<=N;++e,now*=pr[k]){
            res=(res+1ll*f(now)*(S(N/now,k)+(e>1))%mod)%mod;
        }
    }
    return res;
}

int main(){
    scanf("%lld",&n);
    lim=sqrt(n)+1;
    linear_sieve();
    for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){
        r=n/(n/l);
        id[++id[0]]=n/l;
        if(n/l<=lim) id1[n/l]=id[0];
        else id2[n/(n/l)]=id[0];
        g1[id[0]]=(S1(n/l)-1+mod)%mod,g2[id[0]]=(S2(n/l)-1+mod)%mod;
    }
    for(int j=1;j<=cntpr;++j){
        for(int i=1;i<=id[0]&&1ll*pr[j]*pr[j]<=id[i];++i){
            g1[i]=(g1[i]-1ll*pr[j]*(g1[get_id(id[i]/pr[j])]-g1[get_id(pr[j-1])]+mod)%mod+mod)%mod;
            g2[i]=(g2[i]-1ll*pr[j]*pr[j]%mod*(g2[get_id(id[i]/pr[j])]-g2[get_id(pr[j-1])]+mod)%mod+mod)%mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=id[0];++i) g1[i]=(g2[i]-g1[i]+mod)%mod;
    printf("%d\n",(S(n,0)+1)%mod);
    return 0;
}

方法二：递推

考虑把 \(S\) 的状态设计和 \(g\) 类比为 \(S(n,j)=\sum_{i\le n} f(i)[i\in\mathbf{P}\lor\mathrm{minp}(i)>p_j]\)。

这样目标是得到 \(S(n,0)+1\)，初始 \(S(n,+\infty)=g(n)\)（实际上就是只有质数部分，第二维取第一个大于 \(\sqrt{n}\) 的质数编号即可）。

递推过程：

\[S(n,j)= \begin{cases} S(n,j+1)&p_{j+1}^2> n\\ S(n,j+1)+\displaystyle\sum_{p_{j+1}^2\le p_{j+1}^{e+1}\le n}f(p_{j+1}^e)\left(S\left(\left\lfloor\dfrac{n}{p_{j+1}^e}\right\rfloor\right)-S(p_{j+1})+f(p_{j+1}^{e+1})\right)&p_{j+1}^2\le n \end{cases} \]

这里对 \(p_{j+1}^{e+1}\) 做限制的原因是保证了 \(\left\lfloor\dfrac{n}{p_{j+1}^e}\right\rfloor\ge p_{j+1}\)，从而消去 \(S(p_{j+1})\) 是正确的。

复杂度同上，但常数较大，优越性在于递推算法求出了块筛。

点击查看代码

inline int S1(ll N){
    N%=mod;
    return N*(N+1)%mod*inv2%mod;
}
inline int S2(ll N){
    N%=mod;
    return N*(N+1)%mod*(2*N+1)%mod*inv6%mod;
}
inline int f(ll N){
    N%=mod;
    return N*(N-1+mod)%mod;
}

ll n;
int lim;
int pr[maxn],cntpr;
bool vis[maxn];
ll id[maxn<<1];
int id1[maxn],id2[maxn];
int g1[maxn<<1],g2[maxn<<1];
int S[maxn<<1];

inline int get_id(ll N){
    if(N<=lim) return id1[N];
    else return id2[n/N];
}

inline void linear_sieve(){
    for(int i=2;i<=lim;++i){
        if(!vis[i]) pr[++cntpr]=i;
        for(int j=1;j<=cntpr&&i*pr[j]<=lim;++j){
            vis[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0) break;
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%lld",&n);
    lim=sqrt(n)+1;
    linear_sieve();
    for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){
        r=n/(n/l);
        id[++id[0]]=n/l;
        if(n/l<=lim) id1[n/l]=id[0];
        else id2[n/(n/l)]=id[0];
        g1[id[0]]=(S1(n/l)-1+mod)%mod,g2[id[0]]=(S2(n/l)-1+mod)%mod;
    }
    for(int j=1;j<=cntpr;++j){
        for(int i=1;i<=id[0]&&1ll*pr[j]*pr[j]<=id[i];++i){
            g1[i]=(g1[i]-1ll*pr[j]*(g1[get_id(id[i]/pr[j])]-g1[get_id(pr[j-1])]+mod)%mod+mod)%mod;
            g2[i]=(g2[i]-1ll*pr[j]*pr[j]%mod*(g2[get_id(id[i]/pr[j])]-g2[get_id(pr[j-1])]+mod)%mod+mod)%mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=id[0];++i) S[i]=g1[i]=(g2[i]-g1[i]+mod)%mod;
    for(int j=cntpr;j>=1;--j){
        for(int i=1;i<=id[0]&&1ll*pr[j]*pr[j]<=id[i];++i){
            ll now=pr[j];
            for(int e=1;now*pr[j]<=id[i];++e,now*=pr[j]){
                S[i]=(S[i]+1ll*f(now)*(S[get_id(id[i]/now)]-S[get_id(pr[j])]+mod)%mod+f(now*pr[j]))%mod;
            }
        }
    }
    printf("%d\n",(S[1]+1)%mod);
    return 0;
}

只看合数位置可以拟合成 \(\mu^2(n)\)，这样质数位置从 \(-1\) 变成了 \(1\)，答案就应该是：

\[\sum_{i\le n}\mu^2(i)-2\sum_{i\le n}[i\in \mathrm{P}] \]

前一个式子直接 Min_25 前缀和即可，容易发现后一个式子等价于第一步的 \(g\) 函数。

参考资料